無意味に真な命題に関して

質問

数学と論理学に絡んだ質問です。
1=1⇒素数は無限に存在する
という命題は
数学的に「1=1」は真、「素数は無限に存在する」は真なので命題も真になるはずです。
しかし、あるところによれば、これは「無意味に真な命題」となっていると記述されています。もちろん、この命題が数学における証明に使えないのはもちろん理解できます。
では、数学において、どのような基準で意味があるかないかを判断するのか教えて下さい。その基準に公理などが関係ある場合はとくに明記していだだければ幸いです。

回答No.4

12125j

「1＝1⇒素数は無限に存在する」・・・(1)
「1≠1⇒素数は無限に存在する」・・・(2)
(1)と(2)の命題は両方とも真ですが無意味です。

命題の前提条件に関わらず、
導かれる結論が「素数は無限に存在する」であれば、
この命題は真です。

このように常に真となる命題、または、逆に常に偽となる命題
は無意味です。

補足

2=2⇒2・2=2・2は真です。
2≠2⇒2・2=2・2は真です。（2≠2は偽、2・2=2・2は真）
このとき命題の前提条件にかかわらず、導かれる結論が真なのでどちらの命題も真です。
では「2=2⇒2・2=2・2」という命題は無意味でしょうか。2=2ならば両辺に2をかければ2・2=2・2なので、決して意味のない命題とは思えません。この考えは間違っているならばご指摘お願いします！まだ未熟者なので…。

回答No.3

hiro1122

すいません。質問に答えていませんでしたね。

質問者様が言うとおり、

証明に使える＝意味がある
証明に使えない＝意味がない

でよろしいかと思います。

補足

食い下がるようで馬鹿丸出しなんですが、では証明に使えるか使えないかはどのように判断されるのでしょうか（´・ω・`）

回答No.2

hiro1122

命題「ＰならばＱ」

において、Ｐが偽ならば、Ｑの真偽に関係なくこの命題は真
　　　　　Ｑが真ならば、この命題はＰの真偽に関係なく真
となります。
こういう命題が証明に使えない（役にたたない）命題だと思います。

回答No.1

aerospace

意味のある命題なら、仮定の条件「1=1」が結論の条件「素数は無限に存在する」に属するか否かが関係します。

でも質問者様の命題は仮定と結論が関係ないのです。つまり、

●意味のある命題・・・・
「僕は横浜に住んでいる（仮定）⇒僕は日本に住んでいる（結論）」

（”横浜に住んでるってことは日本に住んでいるんだ！”なので仮定と結論は関係を持つ（従属関係））

●意味のない命題・・・
「僕は横浜に住んでいる⇒僕は花に水をやる」

（”横浜に住んでるってことと花に水をやるのはカンケーネージャン！”なので仮定と結論は関係ない（これを排反といいます）”）

例題がお粗末ですみません．．。この答えでどうでしょうか？さらに詳しい解説は高校数学の教科書（数学Aの範囲）にのってますよ！

補足

たしかに言っておられることは直感的にはわかるのです。背反ということは、論理学的に真でも、数学上、意味があるかないかは集合論によって述べられるということでしょうか。意味があるかないかはもう少し形式的に処理されはしないのでしょうか。
無意味に真な命題は数学では証明に使えないので、いかに論理学の考え方を数学の基礎とするかで大変疑問に思っているところです。