• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

公理的集合論で、ある命題を証明?

選択公理を導入すると、下記の命題(1)が証明できるそうです。(Wikipediaの選択公理の記述) 命題(1):任意の二つの集合 A,B について、A から B への単射があるか、または B から A への単射がある。 素人丸出しの例題で恐縮ですが、上記の命題(1)で、任意の集合として以下を選びます。 集合A:原子の名前を要素とする集合とする。 集合B:地球上の国名を要素とする集合とする。 この場合、AからBへの単射もないし、BからAへの単射もなく、命題(1)が偽であるように思えます。 選択公理を用いると証明できるとされる命題(1)は、何を意味しているのでしょうか。 数学の素人にもわかる簡単な例で命題(1)の意味をご説明いただけると助かります。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数296
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • tmpname
  • ベストアンサー率68% (191/278)

> 結局、数学では”任意の集合”はすべて、要素を順番に並べることができるというものなのでしょうか。 選択公理と同値である「整列可能定理」というのがあり、 *「定理」とは言っていますが、実際は整列可能定理から選択公理が導かれ、また選択公理から整列可能定理が導かれる それを使うと要素を順番に並べることができ、しかも並べ方にある条件を課すことができることが保証されます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

>選択公理と同値である「整列可能定理」というのがあり、 なるほど。 詳細は理解できないながらも、視界が開けた気がします。 いただいたキーワードで少し勉強してみます。 どうもありがとうございます。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • tmpname
  • ベストアンサー率68% (191/278)

横から突っ込みを入れると > たまたま太陽との距離が同一な恒星があるかもしれません > 恒星と太陽との距離以外のなにか別の属性が定義できない限り 例えば恒星が3つあって、太陽との距離がそれぞれ 2, 2, 3であったとします(単位は今の場合どうでもよい)。この場合集合として{2, 2, 3}というのを考えることになりますが、これは{2, 3}と同じである事は理解していますでしょうか?(つまり、この集合の要素数は2つであって、『3つではない』) 多分集合論を扱う最初の段階で習うと思いますが、正確にどこの単元かは知らない... 選択公理を見ているのなら、そのついでに「外延性公理」について確認しておくといいです。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 にも書いてありますが、{2, 2, 3}と書いても、{2, 3}と書いてもこの集合の要素は2と3だけですね。 二つの2を区別したいのなら、それは例えば恒星と距離のペア <A, 2> <B,2>のような、距離「だけ」以外の別のものを考えているのであって、既に「数値を要素とする集合」を考えているのではありません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。 >この場合集合として{2, 2, 3}というのを考えることになりますが、これは{2, 3}と同じである事は理解していますでしょうか? それを理解しておりませんでした。 どうも、数学と実世界の区別ができていませんね。 結局、数学では”任意の集合”はすべて、要素を順番に並べることができるというものなのでしょうか。

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

原子の名前も、地球上の国名も、どちらも有限個なので、 一列に並べて番号をつけることができます。 番号のつけかたはイロイロありますが、 何にせよ番号がつけば、番号が同じ要素を対応させて、 個数の少ないほうから多いほうへ単射が定義できます。 集合が非可算だと、自然数の番号をつけることはできませんが、 それでも、一列にならべることさえできれば、 先頭の要素どおしを対応させて、両方の集合から要素を一個づつ減らす ことの繰り返しで、単射を定義できます。 これが、選択公理を使った一般の場合の証明です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

allice_44先生、いつもありがとうございます。 命題(1)の意味することが理解できました。 集合A,Bが共に非加算の無限集合であっても、片方からの単射が可能でることを証明できる点に意味があるのですね。 次なる疑問がわきました。 >集合が非可算だと、自然数の番号をつけることはできませんが、それでも、一列にならべることさえできれば、 つまり、任意の非加算無限集合で、「一列に並べることができないもの」が定義できれば、それが命題(1)の否定になるのでしょうか。 たとえば、有限集合Aを考えてみます。 「宇宙にある恒星と太陽との距離」という数値を要素とする集合を考えてみると、たまたま太陽との距離が同一な恒星があるかもしれません。このような集合をAと定義したときでも、任意の無限集合B(たとえば整数の集合)に対して単射ができるのでしょうか? この場合には、恒星と太陽との距離以外のなにか別の属性が定義できない限り、「一列に並ばない」と思います。 こんな卑近な例では、命題(1)を否定することにはならないでしょうか?

関連するQ&A

  • 選択公理

    A,Bを集合とする。 〈1〉AからBへの入射(単射)があれば、BからAへの上射があることを示せ。ただしAは空でない。 〈2〉選択公理のもとで、AからBへの上射(全射)があれば、BからAへの入射があることを示せ。 おねがいします!

  • 選択公理は循環論法的ではないですか?

    集合論における選択公理は,現行の表現のままでは, 循環論法的主張になってしまっているのではないでしょうか? つまり,それぞれの集合族について選択関数が選べると言っても, 選択関数は沢山あるから,1つ1つの集合族についてどの選択関数を選んだらよいか, 選択しなければいけないのではなでしょうか? すると,選択関数を選択するのに, また選択公理を使って選択しなけばいけないが, それを選択するのにまた選択公理を使って・・・??! これでは,いつまで経っても選べない! だから,選択公理は, すべての集合から成る領域において定義された選択関数の存在 を主張しないといけないのではなでしょうか? 従って,公理の表現を次のように改めないといけないと思うのですが・・・ ∃f:V-{φ} → V ,∀a∈V ,∀x∈a ,x≠φ ⇒ f(x)∈x (f:選択関数,V:すべての集合(族)からなる領域,φ:空集合,a:集合族,x:集合) 「強い選択公理」とか「弱い選択公理?」とかもあるようですが、 上記の点はどうなのでしょうか?

  • 命題について

    いま、「数学は言葉」という本を読んでいます。 p38からp39にかけて、 「証明できないような図形の命題をあげよ」という例題があります。 「xは三角形である。」 「xに代入する値によって、この命題の真偽は変化するのです。このような命題は証明することができません。」 とあるのですが、真偽が変化するのにどうして命題といえるのか。真偽が判定できるから命題というのではないのでしょうか。もちろん、証明できないから命題ではないと言えないのは分かりますが。例えば、三平方の定理とか。 さらにp39のところで、 「三角形の2辺の長さの和は残る1辺の長さよりも短い」も図形の命題ですが、偽なる命題です。偽なる命題が証明されてしまっては困ります。 以上のことから、「自由な変数が含まれているため、真偽が定まらない命題」や「偽なる命題」は(枠組み自体が歪んでいない限り)証明できないことがわかります。 とあります。 「三角形の2辺の長さの和は残る1辺の長さよりも短い」は偽なのは分かりますが、証明できるものなのかどうかよく考えてみると少なくとも私には証明できません。ということはこれは「証明できない命題」なのでしょうか。もし証明できないとすれば例題の証明できない図形の命題ということになるのですが。さらに「偽なる命題が証明されてしまっては困ります。」とはどういう意味で書かれているのでしょうか。ピンとこないのです。 けっこう難しいと思うのですがわかりやすく説明できる方はいませんでしょうか。 宜しくお願いします。

  • 選択公理を使った証明。

    以下の証明を詳しく教えてください。 fをAからBの写像とする。 fが全射であるとき、またそのときに限りf○s=I_Bとなるような写像s:B→Aが存在する。 fが全射であると仮定する。 すると、Bのどの元bに大してもその原像f-1(b)は空でない したがって、f-1(b)=A_b(bはBの要素)とおけば、A_bは空でない集合からなる集合族となる。ゆえに選択公理より、Bで定義された写像sですべてのBの要素bに対してs(b)=A_bとなるものが存在する。s(b)⊂ A_b ⊂ Aであるから、このsに対してf○s=I_bが成り立つ。 これは、Aを集合系だと仮定してますよね。 この証明を詳しく解説してくださるとうれしいです。

  • 命題「存在は定義できない」について。

    「存在は定義できない」という命題が真か偽か、意見が分かれると思います。 ハイデガーなどはこの命題が真であるとの立場をとり、西洋哲学(=哲学史)を勉強した人などもこの主張を支持する人が多いようです。 私はこの命題が偽であるとの立場で論理的な説明を試みたのですが、途中で疲れてしまいました。 疲れてしまう理由は、「どこの誰かが何か言った」などという論理的ではないリファレンスが登場して、これを逐一否定しようとすると枝葉末節に入り込んでしまうからなのです。 そこで、「どこぞの某がこう言った、ああ言った」というリファレンスを無しに、命題が偽であることを説明できないかと考えています。 方法論は、公理的集合論(axiomatic set theory)を用いるのが良いと思っています。 あくまで「存在は定義できない」というのは公理ではないとし、他に、一般に合意可能な内容をいくつか公理として選択し、最終的に「存在は定義できない」という命題が偽であると立証したいのです。 数学や論理学など得意な方、どなたか、手伝っていただけないでしょうか? 質問:命題「存在は定義できない」が偽であることを立証できますか? (なお、これが命題である以上、これを公理には選択できません。)

  • 選択公理は∀A,∃S[((φ≠∀E∈2^A∧E_1,E_2∈2^A(E_1≠E_2))→E_1∩E_2=φ) → ∀E∈2^A,∃1x;(x∈E∧x∈S)]?

    [問]整列定理(任意の集合Aには整列順序が存在する)が成立⇒選択公理 を示したく思ってます。 選択公理は ∀T,∃S[((φ≠∀E∈T∧E_1,E_2∈T(E_1≠E_2))→E_1∩E_2=φ) → ∀E∈T,∃1x;(x∈E∧x∈S)] …(1) と書けると思います(∃1は一意的存在の意味)。 意味は任意の集合Tに対し,Tの互いに素な任意の元Eに対し,∃1x∈E∩Sなる集合Sが存在する。 と習いました。 解答は [証] A上の整列順序を仮定する。2^A\{0}の元xに対し,xはAの部分集合だから最小元がある。これをf(x)とすればfは選択関数である。(終) となっていたのですがつまり,(1)に沿って解釈すると T:=2^AとするとS:={minE∈A;E∈{E∈{E_λ∈2^A;E_λは互いに素(λ∈Λ)}}}…(2) と採ればminE∈Eにもなっていてこれでいいのだと解釈しましたが 選択公理は文章説明すれば任意の集合Tからある集合Sを選び出せれる,つまりS⊂Tとなる集合Sを決めれる。 というのを目にします。 しかし,(1)ではS⊂TではなくS∈Tの関係になっています。 そうしますと, (1)は∀A,∃S[((φ≠∀E∈2^A∧∀E_1,E_2∈2^A(E_1≠E_2))→E_1∩E_2=φ) → ∀E∈2^A,∃1x;(x∈E∧x∈S)]と書き直せば(2)はS⊂Aになっていて辻褄が合うと思います。 選択公理は∀A,∃S[((φ≠∀E∈2^A∧E_1,E_2∈2^A(E_1≠E_2))→E_1∩E_2=φ) → ∀E∈2^A,∃1x;(x∈E∧x∈S)]と書き直してもいいのでしょうか?

  • この命題は証明できないについて

    ゲーデルの不完全性定理などの話の中で上がる、「この命題は証明できない」の矛盾について、どこが矛盾になるのかよくわかりません。 定義的な読み違いだと思うのですが、自己言及のパラドックス(床屋の〜とか嘘つきの〜)については納得というか理解ができます。 例えば嘘つきのパラドックスでは「私は嘘つきである」という発言が正なら嘘をついているので正直者ということに、偽なら正直者のはずが嘘つきと嘘をついている、と矛盾が生じます。それはわかります。 この命題は証明できない、の場合も同じように考えるのだということはわかるのですが、「この命題」をAと表記したときに、「Aが証明できない」が正であれば「Aは証明できない」ということを「証明できる」ということになります。 「Aが証明できない」を偽だとすると「Aは証明できる」ことになります。 ここまではよいのですが、これは数学的な話であり、正の「Aが証明できないことを(BやCなど別の定理を使って)証明する」ことは可能な気がしますし、偽の「Aは間違いである」と結論付けることにも問題がない気がします。 嘘つきのパラドックスとの差に、他の考え方(上記例で言うとBやCといった命題以外の定理)の持ち込みがあるので、これが読み違いというか悩みの原因だと思うのですが…。 持ち込みがなく、命題のみで行う場合(=自己言及のパラドックスに陥る場合)がゲーデルの不完全性定理に当てはまる場合であり、持ち込みがあり矛盾なく証明または反証ができる場合が解決可能な定義(または予想)という認識であってますか…?? 数学学んでるわけではなく、単純に目に触れて興味持っただけのド素人です。学校教育から離れて久しいですので、ものすごくわかりやすい説明や解説を求めております。。。

  • 公理と定義の違いについて

    公理と定義の違いについては過去の質問でもあったようななかったような気がしますが... 「公理」: 命題として意味を与えるもの、又は 証明できない命題を真と仮定してできた命題 「定義」: 対象に意味を与えるもの というような理解でいいのでしょうか? どうもそれでは不十分だと思うので、もっとスッキリする理解の仕方がほしいと思います

  • 集合と写像

    集合と写像に関する証明で,そうなるということはわかっているのですが,どのように証明すれば良いかわかりません。 問題は 集合Xから集合Yへの写像f:X→Yによる像に関して,以下を示せ。 (1) 任意の部分集合A,B⊂Xに対して,f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) (2) fが単射であるならば,任意の部分集合A,B⊂Xに対して,   f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つ (3) Xの任意の部分集合A,B⊂Xに対して,f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つならば   fは単射である。 どなたか解説お願いします。

  • 空集合の扱い方について

    とっても読みにくい文章になってしまいましたが、回答お願いします。記述の仕方のささいな誤りは見逃してください… 「P(x)を満たす任意のx∈R(実数)がQ(x)を満たす。」という命題(命題1)について、 P(x)を満たすxが存在しないとき(つまり、{x∈R|P(x)}=Φのとき)、この命題は真だと説明されました。 理由としては、 「この命題が偽ならば、P(x)を満たすがQ(x)を満たさないxが反例として存在するはずだが、P(x)を満たすようなxはそもそも存在しない。よって真である。」 ということらしいのです。 そこで、Q(x)の否定をR(x)として、「P(x)を満たす任意のxがR(x)を満たす。」(命題2)の真を同様に証明することもできるのでしょうか? もしできるのなら続けて質問があります。 P(x)を満たすxの集合をS、Q(x)を満たすxの集合をTとすると、命題1が成り立つとき、SはTに含まれています。Sが空集合の場合を考えると、空集合は任意の集合の部分集合である、といえます。(これは授業でやりました) しかし命題2が成り立つならば、SはTに含まれていません。空集合はどの集合にも含まれない、ということになりますよね。 空集合は任意の集合の部分集合であると同時に、どの集合にも含まれないという理解で良いのでしょうか? また、Q(x)=(x≦u)とすると、「SはTの部分集合である⇔uはSの上界である」となり、命題1をこれまでと同様に命題1をあてはめると、任意の実数uは空集合Φの上界である。となり、命題2をあてはめると任意の実数uは空集合Φの下界である。ということになりますが、これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか?