ユークリッド幾何学において 真偽が証明できない問題として 例えば『無限

質問

ユークリッド幾何学において　真偽が証明できない問題として　例えば『無限遠点で平行線は交わる』は
その例と考えますが、合っているでしょうか。なぜなら　無限領域は　定義されていないからです。
　ユークリッド幾何学の５公理は有限領域で定義されているとし、その場合に真偽が証明できない問題として　例えば『X・X＝－１は根が存在しない』はその例と考えますが、合っているでしょうか。なぜなら　複素数領域は定義されていないからです。
　なお　公理は証明対象にならない　命題と考えます。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「無限遠点」が登場した時点で、その命題は、
「ユークリッド幾何における」命題ではありません。

お礼

私が知りたいのは　ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。
(1)第２不完全性定理では　次の表現があり『公理系Ｎにおいて、その無矛盾性を証明することは不可能である』、そのなかで問題として『　真であるが証明不可能な主張とは何か。』に対して　答え『公理』とあり　自己言及を表現していることは　理解し易いのです。幾何学では５公理です。

ところが
(2)私がよく分らないのは　第１不完全性定理です。『形式的体系Ｓにおいて、形式的体系Ｓが無矛盾である限り、「形式的体系Ｓにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Ｓにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』　と表される（別表現もありますが）とあります。
ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は　「例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である」はその例のようにおむのですが。つまり　例題には　ユークリッド幾何学では未定義の無限遠点が現れており　証明はできない　のです。いくら公理を増やして定義を明白にしても　未定義の領域はある　ということです。
もう一つの例ですが　無限遠点は扱わないという６番目の公理を追加したとしても　例えば　「X・X＝－１　は根がない　は証明可能である」も証明できない　と思うのです。なぜなら複素数は未定義だからです。つまり　『公理で定義されても未定義域は必ずある』が第一不完全性定理の一つの別表現ではないか
と思うのです。この理解が間違っているのかどうか　どなたかにお教えて頂きたかったのですが　別途
勉強したいと思います。

いろいろヒントなど頂きありがとうございました。お礼申しあげます。

補足

Alice44さん、ご回答ありがとうございました。ご示唆に従いますと、対象領域
外は命題をたてる意味がない　ということですね。対象外かどうかは　命題の証明ができるかどうかに掛かっているということでしょうか。ユークリッド幾何学
の公理には無限遠点の定義はありませんが、ないということは有限という定義に
なっているのですね。すると　ユークリッド幾何学における　不完全性定理の示す系のなかで真偽が証明できない命題がある　に該当する　命題はない　になるように思うのですが。
　不完全性定理の示す系のなかで真偽が証明できない命題がある　の　私の　理解は　別のことばでは　対象領域を完全に定義される公理から構成される系はない　と思っています。無限遠点の例は　対象外という理解よりも　定義されていなかった　という領域で　真偽が証明されない　部分とおもうのですが、まちがっているでしょうか。

回答No.3

alice_44

ユークリッド幾何に「無限遠点」を付け加えて
新しい幾何学の体系を創るとき、
この「無限遠点」という言葉が意味を持つように、
それがどのような性質を持つものか、
公理を付け加えて規定しなければなりません。
公理で規定しなければ、言葉だけ増やしても、
何の意味もありません。
この辺の事情は、「無限遠点」の替わりに
「なんじゃもんじゃ」を付け加えることを
考えてみると解るでしょう。

で、貴方の新しい幾何学の公理系は、
平行線が「無限遠点」で交わるようなものですか？
そうではないものですか？

それは、ユークリッド幾何において
決定不能なのではなく、問題自体が未定義なのです。
試しに、ユークリッド幾何において
全ての直線は「なんじゃもんじゃ」を通る
か否か、考えてみましょう。

回答No.2

Tacosan

「真偽が証明できない問題」と, 「命題」ではなくあえて「問題」としたのはなぜ?