非ユークリッド幾何学が誕生したとき

質問

数学、物理の初心者です。
「神は数学者か」マリオ・リヴィオ　を読んでいます。

１９世紀に非ユークリッド幾何学が誕生して数学の世界に革命が起きた、、、というところを読んでいます。
それまでは絶対的な真理とみなされていた幾何学が、厳密なものではなく経験に基づくものだとわかった。
ということですが、「経験に基づく」というのがいまいちよくわかりません。

ユークリッド幾何学が何千年もの間、空間の事を表す唯一の方法だと思われていた。
（これが「厳格なもの」が指しているところ？）

第五公準について、平行線は一本だけしか引けないのを証明できなくて、
「一本も引けない」（楕円幾何学）かも？
「たくさん引ける」（双曲幾何学）かも？
で非ユークリッド幾何学が出来たんですよね？
「経験に基づく」とはこのあたりのことを指しているんでしょうか？
具体的に「経験」って何でしょうか。

「厳格」と「経験」が意味する事がよくわかりません。

本をお読みでない方でも、もしかしたらわかる方がお見えかな？と思って質問させていただきました。
幾何学についてざっと調べては見たのですが、ヒントになりそうなものが見つけられませんでした。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

その本は知らないけど．

ユークリッド幾何そのものが
厳密なものではなく経験に基づくという意味でしょう．
実際，第五公準は経験則にすぎません．

ふつーに平行線を紙の上に書いたら同位角が等しい
という経験に基づいてるわけですから
（第五公準そのものは同位角とかいってないけど
本質的には同位角（錯角）が等しいことだといってよいのはいいでしょう）．

んで・・・第五公準を証明しようとがんばったわけです．
そこで第五公準を否定して，
平行線が一本も引けない・いっぱい引けるってやっても
実は幾何が構築できるってわかってしまったわけです．
ロバチェフスキとかボヤーイがいろいろやって
ガウスがいかにもガウスらしい，いらんこといってたりするわけです．
ポアンカレもモデルを作ってますし，
リーマンなんかもいろいろやってるわけで
リーマンの話を応用してアインシュタインの一般相対論なんかがでてくるし，
ガウスなんかの話から曲面の曲率になって微分幾何が広がるわけです．

そういう意味ではまさしく革命ですね

=========
個人的には非ユークリッド幾何によるパラダイムシフトよりも
カントール辺りから始まってゲーデルとかコーヘンの辺りにいきつく
一連の流れのほうがより大きな革命だとは思う．

お礼

あ！ああ～～～！わかった！しっくりと来ました。
皆様のどのご回答も、理解の助けになりました。
なんとなく興味を持って、パソコンとノートと一緒に勉強しながら読みはじめましたが、わからんわからんと言わずに楽しみながら勉強したいと思います。
皆様ありがとうございました。

回答No.4

eclipse2maven

たしか、カントが純粋理性批判とかに、ユークリッド幾何が自明の理みたいなことを書いていて、当時は、ユークリッド幾何を疑うことはご法度だったようなこと読んだことがあります。

ガウスは既に、測量のしごとから曲面論で、微分幾何学を作っていましたから、非ユークリッド幾何の存在は知っていますが、伏せています。

哲学は詳しくありませんが、経験という言葉には、ロックの経験主義（すべては経験によるもので、

「経験論（けいけんろん、英: empiricism）、あるいは経験主義（けいけんしゅぎ）は、人間の全ての知識は我々の経験の結果である、とする哲学上または心理学上の立場である（例：ジョン・ロックの「タブラ・ラサ」＝人間は生まれたときは白紙である）。」）

というのに対抗して、カントの哲学があり、主観、客観や理性とか良心とか言ったといういきさつもあります。

本の著者がどういう意味で、「経験」という言葉を使用しているかは、わかりませんが、数学的なニュアンスならば、ヒルベルトの形式主義とか公理のニュアンスだと思います。

幾何学そのものに興味があるならば、クラインのエルランゲン・プログラム（幾何学とは群による不変量を研究する学問である）という視点からみるとまた変わってくると思います。ガロア理論や数論幾何、ゲージ理論や素粒子論なども関わってきます。この立場だとユークリッド幾何は合同変換（回転と平行移動、鏡映変換（裏表をかえる）で不変な量の研究です。

回答No.3

poomen

ほとんど回答は出ているのですが、哲学的な用語、あるいは哲学的な立場からは「経験」「経験的」の別訳あるいは別意味として次のような日本語を充てることも出来ます。

１・「自明な前提」、公理と同じ意味ですよね。証明すべき必要がない事柄。
２・「約束事」、これは「制度」の上に成り立っているという意味です。制度とは人間が作るものです。

　よって、数学とは客観的真理や学問ではなく、人間が作った「制度」の上に成り立っている学問、約束事の上に成り立っている学問となります。

　従って「約束事」を変えれば、具体的には「平行線公理」を変更すれば、別な数学、ここでは幾何学非ユークリッド幾何学が成り立つということになります。

回答No.1

noname#174567

あなたが求めている回答ではないかもしれませんが・・・＾＾；

１９世紀であれば地球は丸いという事が周知の事であったと思います。

すると、北極（真北）から南極（真南）へ直線（本当は線分ですが・・・）をひいたとき、少しでもずれてしまえば平行線ではなくなるという事は気がついているのではないでしょうか？

つまり、地球儀上で真北と真南を結ぶ線を引くと、平行線にはなりませんね＾＾

また、もしかしたら、地球上には純粋な平行線は存在しないということに気がついたのかもしれません。

なぜならば地表に沿った線は、すべて曲がっていますから・・・

このような事を“経験”と称して非ユークリッド幾何学を考え出したのかもしれません・・・

この本を読んではいませんし、数学の専門家でもありませんので、まったく的外れかもしれませんが・・・

全然はずれれいたらごめんなさいね＾＾；