ユークリッド空間 ユークリッド変換

質問

ユークリッド空間とはユークリッド変換の対象となる空間であると認識
しています。
ユークリッド変換は、回転、鏡映、平行移動です。

ユークリッド変換は、直交変換+平行移動と説明されたりしますが、
直交変換とはなんでしょうか？直交行列と関係あるのでしょうか？
直交行列は、ある行列Aの転置行列がAの逆行列と等しい行列で
ある事は理解できています。
回転行列は直交行列の一つだと認識しています。
線形変換（回転、鏡映、拡大・縮小、剪断）のなかで直交変換に
あたるものは回転以外になにがありますでしょうか？鏡映も回転と
ほとんど同意なので含まれると考えています。

ユークリッド変換の数学的な定義は調べたのですがわかりませんでした。
ユークリッド変換の数学的な定義を以下のように教えて頂けませんか？

ちなみに、

線形変換の定義は、
K上の線形空間V上の変換fで、x,y∈V，a,b∈Kについて常に、
f（ax+by）=af(x)+bf(y)が成り立つもの。

アフィン変換の定義は、
K上のアフィン空間W（線形空間を含む）上の変換fで、x,y∈W，a，b∈Kについてa+b=1のとき、
f（ax+by）=af(x)+bf(y)が成り立たちかつ全単射であるもの。

よく私たちが生活している空間を3次元ユークリッド空間などと呼んだりしますが、
これはなぜでしょうか？ユークリッド空間では、回転と鏡映（対称移動）、平行移動が
定義された空間で私たちが生活している空間とは無関係な気がします・・・
私たちが生活している空間には、～空間といったような名称があるのですか？

長々と失礼しました。
質問を整理させて頂きます。以下に質問順に番号をふりました。
（1）直交変換とはなんでしょうか？
（2）線形変換の中で直交変換であるものはなんでしょうか？
（3）ユークリッド変換の定義を教えて貰えないでしょうか？
（4）ユークリッド空間と私たちが日常生活している空間は関係あるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

ユークリッド空間とは、ユークリッド距離が定義された線形空間のことです。
距離、ノルム、内積は相互に派生しあいますから、
ユークリッド内積が定義された線形空間と言ってもよいです。
一般に、内積が定義された線形空間をヒルベルト空間と言います。
ユークリッド空間は、ヒルベルト空間の実例のひとつです。
ユークリッド変換という言い方はあまりしないように思うのですが、
おそらく合同変換のことを意図しているのでしょう。
合同変換とは、変換の前後で二点間の距離が変わらない変換のことです。
合同変換でかつ線形変換でもあるものを、直交変換と呼びます。
直交変換+平行移動 というのは、直交変換U平行移動 ということではなく、
直交変換して更に平行移動もする という意味です。
もちろん、その直交変換または平行移動が無変換(恒等写像)なものも含みます。
平行移動だけまたは直交変換だけであってもよい ということです。
上記の定義から解かるように、ある変換が合同変換か否かを判定するためには、
定義域である線形空間が単なる線形空間ではダメで、距離が定義されていないと
(ヒルベルト空間でないと)いけません。ユークリッド空間であれば ok です。
ユークリッド空間上には、合同変換でないアフィン変換(線形変換+平行移動)を
定義することもできます。

以上を踏まえて、
(1) 二点間の距離を変えない線形変換 (他の言い方もあり)
(2) やまほどある
(3) 前述

(4) は、数学ではなく、物理学の話題です。
ユークリッド幾何にせよ非ユークリッド幾何にせよ、数学モデルは数学モデルでしかなく、
私たちが日常生活している空間そのものではありません。
古典的には、デカルト・ニュートン以来、現実の空間を三次元ユークリッド空間で近似する
ことが標準的に行われてきましたが、
アインシュタイン以降は、時空を四次元非線型空間で近似することも行われています。
近年は、もっと別の数学モデルもいろいろ提案されています。
いづれにせよ、どれが正しいかということではなく、どれで近似するか
という違いに過ぎません。現実は現実、数学は数学です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。

線形変換の中で直交変換であるものは、拡大・縮小と剪断を除いた回転、鏡映だと認識していたのですがやまほどあるとはどのような意味なのでしょうか？

直交変換とは、回転、鏡映だと認識しているのですが間違いでしょうか？
そうすると等長変換と直交変換がなにが違うのかよくわかりません・・・
また直交行列と直交変換は関係があるのでしょうか？

追加質問で恐縮ですが、ユークリッド空間にも原点は存在するのでしょうか？
線形変換とアフィン変換を対比した場合、スカラー倍の相似中心となる原点
が存在する点が大きな違いかと思いますがユークリッド空間もアフィン空間同様絶対的な原点はないと考えてよいでしょうか？

以上、追加質問まで申し訳ないのですが何卒ご回答よろしくお願い致します。