線形変換 アフィン変換 ユークリッド変換

質問

線形変換、アフィン変換、ユークリッド変換について教えて下さい。

線形変換：
回転、鏡映、剪断、拡大・縮小

アフィン変換：
線形変換+平行移動

ユークリッド変換
回転、鏡映、平行移動

と教えて頂きました。

ここで、疑問なのですが、線形変換，アフィン変換，ユークリッド変換において線形変換だけ平行移動できないということは線形変換は原点を持つが、アフィン変換，ユークリッド変換は原点を持たないという事でしょうか？

また、ユークリッド変換はアフィン変換の特殊な場合と教えて頂きました。そして、ユークリッド変換の方がアフィン変換よりも多くの性質を保つとの事なのですがこの点が理解できません。
変換できる項目が少ないほうが多くの性質を保てると言うことなのでしょうか？

また、等長変換というものもあるのですがこれはユークリッド変換
と同義でしょうか？ユークリッド変換と何が異なるのでしょうか？

合同変換とは形を変えない変換ですが、線形変換、アフィン変換で拡大・縮小を伴わない場合とユークリッド変換を指していると言う認識で良いでしょうか？

以上、わからなくて困っています。
ご回答何卒、よろしくお願い致します。

回答No.2

masudaya · ベストアンサー

アフィン変換もユークリッド変換も線形変換ではありません.
平行移動が入る変換は,線形変換になりません.
ユークリッド変換という言葉はユークリッド幾何学が成立する変換
という意味でとらえました.
そうすると,回転,反転(裏返し：折り返し),平行移動の操作を組み合わせたものとなります．
回転，反転は等長変換ですので，アフィン変換の特殊なものになると思います．
合同変換はユークリッド変換と同義かもしれませんが，詳しくありません．

お礼

ご回答ありがとうございます。
ユークリッド変換は合同変換と同義のようですね。

回答No.1

masudaya

線形変換fによって,a→がa'→になるとする(a→はベクトル)
つまり行列Aを用いて線形変換は
a'→=Aa→
と書ける.
線形変換の特徴は名前にもあるとおり線形性にあります.
つまり(α,βを定数として)
f(α・a→+β・b→)=αf(a→)+βf(b→)
となることです.平行移動は上を満たしません.
なぜならf(a→)=a→+c→という平行移動を考えると
f(α・a→+β・b→)=α・a→+β・b→+2c→≠αf(a→)+βf(b→)
となるため,平行移動には線形性がありません.

イメージの話ですが,ユークリッド変換というのは
机の上に図形の紙を落としたときのように
平行移動させたり,回転をさせたりひっくり返したりして
重ね合わせて合同かどうかを確かめることの出来る変換だと思います.

線形変換は,一般に座標軸を変換すると言うイメージなるかと思います.
アフィン変換は線形変換の後に平行移動させるものという感じかと思います.

また合同変換はよく知りませんが,等長変換は線形変換の中で
線分の長さを変えない変換で一般には回転と折り返しになります.

補足

ご回答ありがとうございます。

ユークリッド変換の定義はどのように定義されるのでしょうか？

等長変換は平行移動を含むと思います。
平行移動を含むのであれば線形変換のひとつとはいえないと思うのですが
どうでしょうか？
http://www.mediacultures.com/ISSE/lib/ISSEtext/ISSEmath_t/ISSEmath_I_b/0m1b21_1.pdf
のURLには平行移動を含むと記載されています。

ご回答よろしくお願い致します。