幾何学 極座標

質問

極座標で、点(r,θ)に次の変換をほどこすと、角αの回転で、（r,θ+α）に、原点Ｏに関する点対称で、（r,θ+π）に、始線に関する鏡映で、（r,-θ）に、直線θ=αに関する鏡映で（r,2α-θ）に移ることを証明したいです。どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>拡大Ｏ（b）で（br,θ）にOを中心とする回転拡大で、
>（br,θ+a）に、Ｏを中心とし、θ=αを軸とする拡大鏡映で、
>（br,2α-θ）に移ることを証明したいです。

いまだに「証明」の意味が明確ではないけど、
＃勝手に定義を作って置き換えているだけですが

これって各変換手順に拡大 (r,θ)→(br,θ) を合成するだけじゃないですか？

まとめると、
Frot((r,θ), α) = (r,θ+α)
Fpsym((r,θ))　= (r,θ+π)
Fxmirror((r,θ))　= (r,-θ)
Fmirror((r,θ), α) = (r, 2α-θ)
Fzoom((r, θ), b) = (rb, θ)

Fzoom(Frot((r,θ), α), b) = (br, θ+ α)
Fzoom(Fpsym((r,θ)), b)　= (br,θ+π)
Fzoom(Fxmirror((r,θ)), b)　= (br,-θ)
Fzoom(Fmirror((r,θ), α), b) = (br, 2α-θ)

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。調べて理解が進んできました。またよろしくお願いします。

補足

大変申し訳ありません
Frot,Fpsym,Fxmirror,Fmirror,Fzoom,
などの用語がわからないのですが教えてください。

回答No.2

alice_44

証明できるのか？
それが、「回転」「点対称」「鏡映」の定義ではなかろうか。

お礼

自分が題意を捉えきれていなくてご迷惑をおかけしました。またどうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

うーむ、証明ですか。どこまで書くべきなのかわかりませんが

■原点を中心に角αだけ回転、(r,θ) ⇒（r,θ+α）

これは回転の定義そのままじゃないかと思います。
何を示せばよいのでしょう？

■原点に対する点対称 (r,θ) ⇒（r,θ+π）

点対称をどう定義するかによりますが、変換前のデカルト座標を(x, y),
変換後のデカルト座標を(x', y')として (x', y') = (-x, -y)
と定義するなら,証明は

x = rcosθ
y = rsinθ

x' = rcos(θ+π) = -x
y' = rsin(θ+π) = -y

■始線に関する鏡映 (r,θ) ⇒（r,-θ）

始線(X軸？？)に関する鏡映を (x', y') = (x, -y) と定義するなら,証明は

x' = rcos(-θ) = x
y' = rsin(-θ) = -y

■α方向の直線に関する鏡映　(r,θ) ⇒（r, 2α-θ）

角度αを基準に角度を反転させるということは、αとθの差をαに足した物を
新たなθ(θ')にすることなので

(α-θ) + α = 2α-θ = θ'

お礼

丁寧に教えていただきどうもありがとうございました。とてもわかりやすかったです。どうぞまたよろしくお願いします。

補足

すみません問題に続きがありました。
拡大Ｏ（b）で（br,θ）にOを中心とする回転拡大で、（br,θ+a）に、Ｏを中心とし、θ=αを軸とする拡大鏡映で、（br,2α-θ）に移ることを証明したいです。よろしくお願いします。