反比例と原点対称について質問

質問

質問１：反比例において、原点対称の定義とは、「その点と原点を通る直線上にあって、
原点からその点までの距離と同じ距離にある点」のことでしょうか？

質問２：反比例は原点対称であるから、原点を対称の中心として１８０度回すと重なりますよね？
その際の重ねあわせ方について質問です。
対称の中心は不動であるからそこは動かないですよね？
そうだとして、右上にある反比例のグラフを座標の升目ごと１８０度回して重ねるイメージですか？それとも右上の座標の升目だけでなく全ての座標の升目ごと１８０度回転させて、それでは物理的に重なるわけではないけれど、回転後の右上にあった反比例のグラフの座標からグラフが重なったと断定するのでしょうか？
それともまた別の重ね方があるのでしょうか？重ねるプロセスを中学生でもわかりやすくご教示ください。

回答No.3

puusannya · ベストアンサー

Ｎｏ．１の回答者です。
５行目にミスをしました。
第３象限（ｘが負、ｙが正）は間違いで、第３象限はｘもｙも負です。申し訳ありませんでした。

ところで原点対象、納得してくれましたか。

重ねて書きますが、
右のグラフ上のすべての点を原点対称に移した点を線で結ぶと、左のグラフが書きあがります。
逆に左のグラフ上のすべての点を原点対称に移した点を結ぶと右のグラフが書きあがります。

左右の２つのグラフがセットになって、１つの双曲線（反比例のグラフ）になっているんですね。

お礼

はい！理解できました！

丁重なご回答誠にありがとうございます！

かなりわかりやすくクリアな説明でした＾＾

回答No.2

IJHSM

No1さんの方が中学生向きでしょうが、少し数学的な用語を使うと
「y=f(x)において、常に-y=f(-x)が成り立つ関数を原点対象という」これが定義でしょうか？

要するにyとxの符号を反転させても（これがいわゆる原点を対称の中心として１８０度回すということ）等号が成立してればその関数は原点対象ということです。

例えばy=2x+5のときは、-y=-2x+5つまりy=2x-5となるため原点対象ではない。
反比例の方程式はy=k/xのためxyの符号をいれかえても成り立つため原点対象。

このように、実際は「その点と原点を通る・・・」なんてしなくても原点対象であることは分かります。

だから質問２はそんなに深く考えなくてもいいのです。
回転させるというのは分かりやすくイメージできるように使っている言葉であるためおそらく厳密なやり方などなく、本人が理解できてればそれでいいと思います。

反比例のグラフを書いて頭の中で回転させて重なってなんとなく原点対称な気がすると思えれば十分です。
実際原点対象かどうかなんて問題は問題にもなりませんしね。

お礼

丁重なご回答ありがとうございます！
＞yとxの符号を反転させても（これがいわゆる原点を対称の中心として１８０度回すということ）等号が成立してればその関数は原点対象ということです。

この説明かなりわかりやすかったです！
ありがとうございます！

回答No.1

puusannya

厳密な日本語の使い方をすると

原点対称な点は「その点と原点を通る直線上にあって、
原点からその点までの距離と同じ距離にある点である。」といえますね。

原点対称といえば、「上で考えた２つの点は原点対称である。」といえますね。

だから原点対象の定義は、「ｘｙ平面上に２つの点があって、片方の点と原点を結ぶ直線上に他方の点があって、互いの点から原点までの距離が等しいこと。」といえるでしょう。

ですからたとえば第１象限（ｘ座標、ｙ座標がともに正である点の集合）のすべての点を原点対称移動(原点対称な点に写す)すると、第３象限(ｘ座標が負、ｙ座標は正である点の集合）のすべての点に１：１(１つの点から１つの点に、１つの点は１つの点から）に移動しますね。

反比例のグラフ上の１つの点を取って、その点の原点対称な点を探すと、必ず反対側のグラフ上にあります。
反比例のグラフは左右の２つのグラフでできていますが、片方のグラフを原点対称に移動すると、他方のグラフになります。

例えば簡単に反比例の式をｘｙ＝１２だとします。（２，６）はこのグラフ上の点です。
この点の原点対称な点は（－２、－６）です。
（－２、－６）はｘｙ＝１２を満たしていますからやっぱり同じグラフ上にあります。
ただ反比例のグラフは２つに分かれている（双曲線と習っていますね。２つの曲線です。)ので、最初の点と後の点が同じ線上にはありませんが。

点（－３、－４）はｘｙ＝１２のグラフ、放物線上にあります。
原点対称な点は（３，４）で、この点もｘｙ＝１２を満たしますからやはりｘｙ＝１２のグラフ上にあります。ただし同じ線上にはありませんが、同じ反比例のグラフ上にあるといいます。

反比例のグラフを座標の升目ごと１８０度回して重ねるイメージですか？それとも右上の座標の升目だけでなく全ての座標の升目ごと１８０度回転させて、それでは物理的に重なるわけではないけれど」という意味が分かりません。反比例のグラフなら１８０°回転すると、必ず重なりますよ。グラフ用紙上のどの点も、１８０°回転すると反対側の点に重なりますよ。