反比例と原点対称について質問です

質問

質問１：反比例は原点対称であると聞きました。
また、原点対称の定義が、原点に関して点対称なものであると聞きました。

　反比例のグラフを１８０度回転したとき、回転する前のグラフとは重なりません。（「もう１つのグラフ」と重なるのはわかります）
これは点対称ではないと思うんです。
だって点対称は、「180°回転させるともとの図形にピッタリ重なる図形」のことだから、回転する前の「もとのグラフ」とは重なり合ってないと思います。何故、反比例のグラフは原点対称なのでしょうか？

質問２：原点対称とは、「原点（たぶん座標軸の交点のこと）」を対称の中心とすることであるとも聞きました。
しかし、原点を対称の中心とするのにもかかわらず、実際は反比例のどこかのグラフの1点を対称の中心として、180度回転させると思います。
何故、原点を対称の中心とするのにもかかわらず、実際は反比例のグラフのどこかを対称の中心とできるのでしょうか？

質問３：反比例のグラフは原点対称ですが、そのことと「点対称移動」はどのように関わってくるのでしょうか？

回答No.1

puusannya · ベストアンサー

質問１：　反比例のグラフは、右と左の２つで１つの反比例のグラフなんです。
だから、右のグラフを原点を中心に、１８０°回転すると、左のゲラフにぴったり重なりますね。
逆に左のグラフを原点を中心に、１８０°回転すると右のグラフに重なります。
反比例のグラフが原点対称というのはそういうことなのです。

質問２：反比例のグラフ上の１点から原点を通る線を引き、
原点までの距離と同じ距離だけはなれたろころに点を取ると
その点は反比例のグラフのうちのさっきの点があったグラフと反対側のグラフ上にあります。

どちらも、反比例のグラフが左右２つで１つのグラフだと考え直してくだされば
納得していただけると思います。

お礼

お礼遅れてしまい申し訳ありませんでした。。

原点対称についてクリアにわかりました！

ありがとうございます

回答No.4

sanori

こんにちは！

＞＞＞反比例のグラフを１８０度回転したとき、回転する前のグラフとは重なりません。（「もう１つのグラフ」と重なるのはわかります）

反比例のグラフは第一象限（ｘもｙもプラス）と第三象限（ｘもｙもマイナス）の両方に出現するので、「もう一つのグラフ」という考えは誤りです。
反比例の曲線は２本１組であり、それを「双曲線」と言います（中学１年で習うようです）。

双曲線を１８０°回すと、第一象限から来た曲線が第三象限の曲線に重なり、第三象限から来た曲線が第一象限の曲線に重なります。
つまり、反比例の曲線は、「もう一つのグラフ」と原点対称なのではなく、自分自身と原点対称なのです。

＞＞＞質問２：原点対称とは、「原点（たぶん座標軸の交点のこと）」を対称の中心とすることであるとも聞きました。
＞＞＞しかし、原点を対称の中心とするのにもかかわらず、実際は反比例のどこかのグラフの1点を対称の中心として、180度回転させると思います。

いえ。原点が対称の中心です。

ほかのことにたとえてみましょうか。
ドーナツを考えます。
大小２つの円を描いてその間を塗りつぶし、中心部分は塗りつぶさない図形です。
すると、ど真ん中はドーナツの一部ではないですが、ドーナツの対称の中心ですよね？
同様に、原点は双曲線の一部ではないですが、対称の中心と考えてよいのです。

＞＞＞質問３：反比例のグラフは原点対称ですが、そのことと「点対称移動」はどのように関わってくるのでしょうか？

頂点（角）がないのでわかりにくいですが、第一象限の曲線上のどの１点を選んでも、そこから原点と反対側に移動した点は必ず第三象限の曲線の上にあります。
その逆もそうです。
どこの点を選んでもそうなるということは、つまり、点対称移動によって双曲線が双曲線自身と重なるということです。
それはまさに、双曲線が原点対称ということであり、
原点こそが「反比例のグラフという点対称な図形」の中心だということでもあります。

お礼

お礼遅れてしまい申し訳ありませんでした。。
いつもありがとうございます！
８割はわかりました。
２割ほど疑問点が残っていたので、再度質問投稿しますね。

回答No.3

typeTTT

おそらく質問者さんはどこかで勘違いなさっているのではないでしょうか？

回答1：
反比例のグラフを，原点を中心に180°回転させると，回転前のグラフと重なります．
これが”原点対称”です．実際にグラフを描いて180°回転させれば分かると思います．

回答2：
これもグラフを描いて回転させてみれば分かります．原点以外の点についてグラフを
180°回転させても，点対称にはなりません．

回答3：
例えば，点(3,2)を原点に対して対称移動させると，座標は(-3,-2)になりますよね．
つまり原点に対して対称移動させたいときは，座標値に-1を掛ければいいわけです．
反比例のグラフには，グラフ上のある点(x,y)を，原点に対して対称移動させた(-x,-y)が必ず存在しています．

お礼

お礼遅れてしまい申し訳ありませんでした。。

ありがとうございます！

対称移動と原点対称の関係がある程度つかめました！

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞質問１：反比例は原点対称であると聞きました。
＞反比例のグラフを１８０度回転したとき、回転する前のグラフとは重なりません。
＞（「もう１つのグラフ」と重なるのはわかります）
式としては一つの式で表されているので、「もう 1つのグラフ」も合わせて「1つのグラフ」です。
なので、ぐるっと回せば自分自身に重なることになります。

＞質問２：原点対称とは、「原点（たぶん座標軸の交点のこと）」を対称の中心とすることであるとも聞きました。
原点対称と（原点を中心とした）180度の回転は、同じことを表します。
簡単な図を描いてみましたので、よく見てください。

お礼

お礼遅れてしまい申し訳ありませんでした。。

図の挿入までしていただいてありがとうございます！
視覚的に理解できました。