幾何学の証明問題がわかりません

質問

解けない問題があるの教えてください。

直交座標、点(x,y)に変換を行い、x軸に関する鏡映で(x,-y)、 直線x＝ｙに関する鏡映で(y,x)、
原点を中心に９０°の回転で(-y,x)、x軸に従う併進鏡映で(x+α,-y),拡大鏡映によって(bx,-by)に移ることを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

直交座標、点(x,y)に変換を行い、Ｐ（ｘ，ｙ），変換によって移る点をＱ（ｐ，ｑ）とする。
原点をＯとする。
＞x軸に関する鏡映で(x,-y)、
ｘは変わらず、ＰとＱの中点がｘ軸上にあればいいからそのｙ座標が０であれば良い。
(1/2)（ｙ＋ｑ）＝０より、ｙ＋ｑ＝０　よって、ｐ＝ｘ，ｑ＝－ｙ
＞直線x＝ｙに関する鏡映で(y,x)、
直線ＰＱがｙ＝ｘに直交するから、ＰＱの傾き＝（ｙ－ｑ）／（ｘ－ｐ）より、
｛（ｙ－ｑ）／（ｘ－ｐ）｝・１＝－１より、ｘ＋ｙ＝ｐ＋ｑ　……（１）
ＰとＱの中点がｙ＝ｘ上にあればいいから、
(1/2)（ｙ＋ｑ）＝(1/2)（ｘ＋ｐ）より、ｘ－ｙ＝ｑ－ｐ　……（２）
（１）（２）の連立方程式を解くと、よって、ｐ＝ｙ，ｑ＝ｘ
＞原点を中心に９０°の回転で(-y,x)、
ＯＰがｘ軸となす角をａとすると、
ｘ＝｜ＯＰ｜cos（ａ），ｙ＝｜ＯＰ｜sin（ａ）
ｐ＝｜ＯＰ｜cos（ａ＋π/2）＝－｜ＯＰ｜sin（ａ）＝－ｙ
ｑ＝｜ＯＰ｜sin（ａ＋π/2）＝｜ＯＰ｜cos（ａ）＝ｘ
＞x軸に従う併進鏡映で(x+α,-y),
ｘ軸による鏡映により、（ｘ，－ｙ）
ｘ方向にαだけ平行移動するから、よって、ｐ＝ｘ＋α，ｑ＝－ｙ
＞拡大鏡映によって(bx,by)に移ることを証明せよ。
｜ＯＱ｜＝ｂ｜ＯＰ｜より、｜ＯＱ｜^2＝ｂ^2｜ＯＰ｜^2
左辺＝｜ＯＱ｜^2＝ｐ^2＋ｑ^2
右辺＝ｂ^2｜ＯＰ｜^2
＝ｂ^2（ｘ^2＋ｙ^2）
＝ｂ^2ｘ^2＋ｂ^2ｙ^2
＝（ｂｘ）^2＋（ｂｙ）^2
ｐ^2＋ｑ^2＝（ｂｘ）^2＋（ｂｙ）^2より、
よって、ｐ＝ｂｘ，ｑ＝ｂｙ

のようにやってみましたが、どうでしょうか？

お礼

ありがとうございます、とてもわかりやすかったです。

似た問題があるので自分の力でがんばってみます。

回答No.1

asuncion

おそらく、三角形の合同や相似を使えばいいのではないかと思います。

＞x軸に従う併進鏡映で(x+α,-y)
＞拡大鏡映によって(bx,-by)

このあたりのことはよくわかりませんけれど。後者は(bx,by)じゃないのかな？