線形変換

質問

線形変換

線形代数で、線形写像を勉強しています。
線形変換は例題をいくつかあたり、理解しています。

テキストには、線形変換の項目以下にアフィン変換も記載されているのですが、
アフィン変換（線形変換+平行移動）は線形変換の種類の一つなのでしょうか？

他にもユークリッド変換（直交変換+平行移動）など記載されており、
これも線形変換の一つでしょうか？
直交変換は線形変換の一つだと認識しています。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

御自分で「アフィン変換（線形変換+平行移動）」と書いておられる通り、
アフィン変換 ⊂ 線型変換 ではなく、アフィン変換 ⊃ 線型変換 です。

線型変換の定義： [1]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。

アフィン変換の定義： [2]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。

[1] ならば [2] が成り立つのか、
[2] ならば [1] が成り立つのか、よく考えてみて下さい。

ユークリッド変換のほうも、「ユークリッド変換（直交変換+平行移動）」の通りで、
これは、アフィン変換の一種です。アフィン変換の中で、
その線型変換部分が直交変換であるものだけを、ユークリッド変換と呼ぶ訳ですから。

アフィン変換の中で、線型変換であり、かつ、ユークリッド変換でもあるものが、
直交変換である　とも、言えますね。

お礼

ご説明にある、「アフィン変換⊃線形変換」ということは、
アフィン変換は線形変換を含むと言う事ですね。
と言うことは、アフィン変換の特殊な場合（平行移動しない場合）は、
線形変換という認識で良いでしょうか？

記載して頂いた定義[1]，[2]について考えると、
[1]ならば、[2]は成り立つと思います。
[1]はa+b=1によらず、f(ax+by)＝af(x)+bf(y)が成り立ちますから。
しかし、[1]ならば[2]が成り立つと言うことは線形変換がアフィン変換を含むと
言う事になりませんか？この点で混乱しています・・・

なかなか解決出来ないので何卒ご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。
ご説明にある、「アフィン変換⊃線形変換」ということは、
アフィン変換は線形変換を含むと言う事ですね。
と言うことは、アフィン変換の特殊な場合（平行移動しない場合）は、
線形変換という認識で良いでしょうか？

記載して頂いた定義[1]，[2]について考えると、
[1]ならば、[2]は成り立つと思います。
[1]はa+b=1によらず、f(ax+by)＝af(x)+bf(y)が成り立ちますから。
しかし、[1]ならば[2]が成り立つと言うことは線形変換がアフィン変換を含むと
言う事になりませんか？この点で混乱しています・・・

[2]の場合はa+b=1の場合のみ成り立つので[1]は成り立たないと思います。
a+b=1の条件って何を表すのでしょうか？直感的には平行移動を表すと思うのですが・・・

また追加質問で大変恐縮なのですが、アフィン写像の始域と終域が同じ場合アフィン変換と
呼ぶと記載があるのですが、始域と終域とは何でしょうか？