アフィン空間

質問

アフィン空間について以前質問させて頂きました。
多少は理解できましたが、不明な点も多々あるため再度質問させて下さい。

前回までの質問から勉強してアフィン空間とは、線形空間のアフィン変換で変換される空間だと認識しています。
ここで、アフィン変換は、線形変換と平行移動をあわせたものです。
アフィン変換は理解できます。ここで、アフィン空間を考える意図って何なんでしょうか？

アフィン変換が利用されるのは道路に描いてある文字などですよね。
わざわざアフィン空間と言う集合を考える事が何かの役に立つのでしょうか？

幼稚な質問ですいません。ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

kabaokaba

＞アフィン空間についてはどうなのでしょうか？

じゃあ逆の質問．
あなたは，「直線」といったときに
「正比例」「原点を通る直線」しか考えないのですが？
切片が0ではない，いわゆる一次関数は対象外ですか？
空間で直線を考えるときにいわゆる「ねじれの位置」を
考えないのですか？

平行移動したものがアフィン空間であるとわかっているならば
いわゆる一次関数がアフィン空間そのもの，
原点を通らない平面もアフィン空間そのものであることは
容易にわかるでしょう．
そうすれば「何のため？」というのは自明でしょう．
線形代数は基本的には「原点を通るもの」しか相手にしない
という側面がありますし，実際それで十分なんですが，
応用的には原点がなかったり，
たくさん必要だったりするものです．
そういう対象の数学的なものが
アフィン空間・アフィン変換だったり
さらには射影空間・射影変換なのです．
＃射影空間は純粋数学的にもきわめて重要ですけど．

お礼

ご回答ありがとうございます。

原点から平行移動したものは大変身近な関数ですよね。
kabaokaba様がおっしゃている切片が0ではない，一次関数などとても
身近な関数だと思います。

原点を通らない直線や平面などはすべてアフィン空間の対象になることは理解できます。
が、これは、わざわざアフィン空間を考えなくともユークリッド空間で事足りないのでしょうか？

補足

ご回答いただけなかったので、自分なりに考えて見ましたがやはり・・・

アフィン空間というものをわざわざ定義するぐらいなので、ユークリッド空間ではうまく扱えない部分があのでしょうか？

線形変換と平行移動はユークリッド空間では表現できない？・・・よくわかりません。

そもそも、このように空間の意味を考えること自体がズレているのでしょうか？つまり、ある定義に基づく集合とだけ考えれば良いでしょうか？

回答No.1

info22

アフィン変換は、写真などの画像を立体の面や曲面に貼り付けたりする画像処理（特にアニメ画像や映画で水面やビルの窓や球面や地面に移動する人や車の像を作り出したり、雲の人などの影などを作り出したりする画像処理）やカメラや航空写真の画像の歪を補正して、本来の正方形や長方形領域の正しい画像に戻す画像処理、それらの複数の画像を組み合わせた合成画像や動画を作り出したりする画像処理などに使われたりしているかと思います。
宇宙から撮った地球の沢山の画像の歪を補正して繋ぎ目を目立たないように連続に繋ぎ合わせて、一枚の球面の地球全体の画像に変換して球面に貼り付けて地球の各種画像にしたり、一枚の大きな世界地図に地球の画像を貼り付けたりする画像処理もアフィン変換の応用ですね。
毎日みる地球の地図の天気予報の雲が動く画像（気象衛星の画像）なども見慣れて気がつかないかもしてませんが、アフィン変換（線形変換）を利用して画像処理しているかと思います。

現実には撮影できない合成画像があたかも本物を撮影したかのように見せたり、アニメの動画やゲームの動画作りやコマーシャル動画などにも使われているかと思います。

補足

ご回答ありがとう御座います。

大変勉強になります。
アフィン変換が利用され、様々な分野で応用されていることはとても良く理解出来ました。

アフィン空間についてはどうなのでしょうか？
立体の面や曲面に応用する為に、考えられた空間という事でしょうか？

また、アフィン空間はユークリッド空間から絶対的な原点・座標を取り除いた空間と有りますが、アフィン変換を行うと絶対的な原点・座標というものが無くなってしまうのでしょか？

アフィン変換は、線形変換（回転・拡大／縮小・剪段［正方形→平行し変形］）と平行移動からなる変換であると理解しています。
平行移動を行うという事が、絶対的な原点・座標を無くすという事なのでしょうか？

幼稚な質問ですが、ご回答頂けると幸いです。