アフィン空間 ユークリッド空間 ベクトル空間

質問

アフィン空間についていろいろ勉強しているのですが、なかなかわからなくて・・・もう何度質問したことか＞＜

アフィン空間はベクトル空間ではないと思っているのですが、アフィン空間とベクトル空間が同じになる場合があるのでしょうか？
一次結合の係数和が1の時、アフィン空間＝ベクトル空間となるのでしょうか？

また、アフィン空間はユークリッド空間から絶対的な原点・座標を取り除いた空間ですよね（wiki参照）。以前の質問で、計量の有無はアフィン空間であるか否かには関係無いとの事でした。
ということは、アフィン空間はベクトル空間ではないが位相空間、計量を定義すれば距離空間となるのでしょうか？

私のイメージでは、
ある集合→（ベクトルを定義）→ベクトル空間→（位相を入れる）→位相空間→（ノルム・内積を定義）→距離空間
なんですが・・・

アフィン空間はこのイメージから外れてしまって良くわからないのです・・・

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

もっと定義を大事にしましょう．
定義をみて「ふーーん」で終わらせてませんか？
自分で例を作ったりしてないですよね

>以前別の方から頂いた回答で、アフィン空間も計量を持つことは出来る
>とありましたので、加法やスカラー倍は存在すると思っていました。

いや・・そうじゃなくって・・・
アフィン空間にはベクトル空間が付随するのです．
その付随したベクトル空間に計量が入ることは
十分ありえるわけで，そのときには
「アフィン空間に計量が入る」というわけ．
ある空間に演算が定義される場合，
その演算について閉じていないと，
つまり，空間の点どうしの演算の結果がやはりその空間の点に
なってないとだめなのです．
たとえばアフィン空間x+y=1の上の二点
(0,1)，(1,0)で普通に「加法」したら(1,1)だけども
それはx+y=1の上ではないでしょう？
だから，加法なんて演算は定義されない
（複雑なことをすれば別の「加法」は定義できるかもしれないので
加法そのものが存在しないというのは早計だけど，
今の状況では問題ないと思う）．
スカラー倍も同様．
けど，x+y=1には一次元のユークリッド空間Eが付随しているのあって
Eには「普通の意味での距離」があるから
「(0,1)から(1,0)」にはベクトル(1,-1)が付随して
このベクトルの長さは(√2)となる．
つまり，アフィン空間x+y=1には計量が存在し，
(0,1)から(1,0)までの「長さ」は(√2)となる．

{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}については省略．
これが分からないのは，かなり問題があります．
何も難しいことはないのでがんばってください．
＃というか・・・これが分からないということは
＃何を書いても誤解されるということかいな・・・・

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞もっと定義を大事にしましょう．
＞定義をみて「ふーーん」で終わらせてませんか？
＞自分で例を作ったりしてないですよね
すべて当てはまって下ります・・・正します。
もっと定義をしっかり理解することに努めます。

加法・スカラー倍についてと計量が存在することを同一視しておりました。ぜんぜん理解できてなかったです・・・ご回答の内容で、理解できました。ありがとうございます。

{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}についても理解できました。
グラフを書いたらわかりました。
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
e1=（1,0）でe2=（0,1）なので、a1（1,0）+a2（0,1）→（a1，a2）
{(a1,a2) | a1+a2=1}
a1=x，a2=yとすると
{(x,y) | x+y=1}
情けないです・・・

e1=(1,1), e2=(0,1)も同様に
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
{(a1,1) | a1+a2=1}
{(x,1) | x+1=1}
{(x,1) | y=1}

すみませんでしたm(__)m

補足

いろいろご回答ありがとう御座いました。

本当に心苦しいんですが・・・
今までご教示下さった事をノートに纏めているのですが、
一点だけわからない点が出てきました。

ベクトル空間は自然にアフィン空間であるという点なのですが、
ベクトル空間の対象は線形（原点を通る）だと思います。例えば一次関数は線形ではありませんよね。
ここで、ベクトル空間の対象外である一次関数はアフィン空間の対象であるのになぜベクトル空間は自然にアフィン空間なのでしょうか？

アフィン空間はベクトル空間を一般化という事は、アフィン空間はベクトル空間の上位集合?と感じたのですが・・・

回答No.3

kabaokaba

＞少し考えたのですが、ベクトル空間ってそんなに滅多に存在しない空間なのでしょうか？
＞3次元ユークリッド空間なんかはとても身近なベクトル空間だと思うのですが・・・

身近なものがすべて？
近くにあるものは特異なものでしかない，もしくは
ことさら都合のよい特異なものは
目立つからたくさんあるように見える
という可能性は考慮外？
たとえば，円周はベクトル空間ではないし，
y=x^2だってベクトル空間じゃあない．
ユークリッド空間に埋め込めない空間なんてものも
たくさんある．

ベクトル空間てのは性質がよくて便利だから，
空間をなんとかしてベクトル空間で表現できないかと考える．
それの代表格がいわゆる「一次近似」であり
接線であり，接平面というもの．

>affine空間は工学的な実用の面で極めて有用なのですね。
・・・これはほかの方も
何度も何度もすでに指摘してたでしょう？？

＞ベクトル空間は任意の一次結合について閉じていなければなりませんよね。

ベクトル空間なんだから，いわゆる一次結合で
「外にはみ出さない」のは当然．

>そして、アフィン空間は一次結合の係数和が1の場合だけ閉じていれば良いと過去のQAに記載されていたもので・・・
>アフィン空間の一次結合の係数和が1の場合はベクトル空間と同じであると認識しておりました。係数和は1ですよね？

ちがーーう．まったくちがーう．
どこをどうやったらこんな誤解ができるのですか？
ベクトル空間の部分集合で
係数の和が1になるような一次結合で表されるものが
アフィン空間になるということ．
式で書けば，v1,...vnが一次独立なベクトルだとすれば
{a1v1+a2v2+・・・+anvn | a1+a2+・・・an=1}
がアフィン空間になるということ．
それ以上でもそれ以下でもない．
＃これをアフィン空間の定義だとみなしても問題はないけど
＃wikipediaを例に出してきたのだから，その定義を拠り所にすべき

そもそも「一次結合の係数和が1の場合だけ閉じる」って何ですか？
何について閉じてるのですか？
そもそもアフィン空間の一次結合ってのは何ですか？
アフィン空間ってのには
原則的に和もスカラー倍も存在しません．
定義でもそうなってるでしょう？

＞e1=(1,0), e2=(0,1)とすれば、{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}という集合は x+y=1を表すというのが良くわからないのですが・・・

これは高校生か中学生レベルです．
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
= {(a1,a2) | a1+a2=1}
= {(x,y) | x+y=1}
でしょう？
これはx+y=1のグラフのことです．

＞ある集合→（位相を入れる）→位相空間→（ノルム・内積を定義）→距離空間

そもそも位相空間に「ノルム・内積」が入る？
ノルム・内積ってのはベクトルがないとだめでしょう？
だから，流れとしては

集合→（無条件，任意の集合は位相空間になれる）→
位相空間→（ある条件）→距離空間

くらいしかいえないの．
位相空間がどういう場合に距離空間になるかというのは
距離付け可能性の問題とか呼ばれる大問題で
分離公理とかかなりいろいろなことが必要になる．

ベクトル空間はこれとは別の流れになる．
集合→（何かの条件）→ベクトル空間→（ノルム・内積が入る）→距離空間
こんな感じしかいえない．

補足

ご回答ありがとうございます。

＞ちがーーう．まったくちがーう．
＞どこをどうやったらこんな誤解ができるのですか？
＞ベクトル空間の部分集合で
＞係数の和が1になるような一次結合で表されるものが
＞アフィン空間になるということ．
理解しました。
以前の、QAでアフィン空間は、係数の和が1である場合にだけ閉じていれば良い。という説明がありまして・・・
ベクトル空間は任意の一次結合について閉じていることは理解していたので、アフィン空間の一次結合の係数和が1の時はアフィン空間とベクトル空間が同じであると考えていたのです・・・この考えが間違いの原因です。

＞そもそも「一次結合の係数和が1の場合だけ閉じる」って何ですか？
＞何について閉じてるのですか？
＞そもそもアフィン空間の一次結合ってのは何ですか？
＞アフィン空間ってのには
＞原則的に和もスカラー倍も存在しません．
＞定義でもそうなってるでしょう？
以前別の方から頂いた回答で、アフィン空間も計量を持つことは出来る
とありましたので、加法やスカラー倍は存在すると思っていました。

＞これは高校生か中学生レベルです．
＞{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}・・・(1)
＞= {(a1,a2) | a1+a2=1}・・・(2)
＞= {(x,y) | x+y=1}・・・(3)
＞でしょう？
＞これはx+y=1のグラフのことです．
情けないのですが、(1)式が(2)式になる事と(2)式が(3)式になることがわからないんです・・・本当にすいませんm(__)m

回答No.2

kabaokaba

まずは定義をきちんと理解すること．

アフィン空間てのはベクトル空間とは関係はあるけども別物です．
空間の二点を取ると，ベクトルが一個対応して
それが特定の規則を満たす場合に，
その空間をアフィン空間というのです．
それ以上でもそれ以下でもありません．
wikipediaの定義はそうなってるでしょう？
＃なお，wikipediaとwikiはまったくの別物
＃wikipediaのつもりでwikiと書くのは大間違い
＃wikiとはある種のソフトの総称であり
＃wikipediaはmedaiwikiというwikiソフトの一種で構築されている
＃サイトの一つのこと

ベクトル空間は自然にアフィン空間だけども
アフィン空間が何もせずにベクトル空間になることはない．
アフィン空間をベクトル空間とみるということは
「原点を決めて固定する」ということです．
たとえば，アフィン空間「x+y=1」をベクトル空間と見るには
たとえば原点として(0,1)を固定してしまうことです．
＃別に(2,-1)を原点にしてもいい．

＞ある集合→（ベクトルを定義）→ベクトル空間→（位相を入れる）→位相空間→（ノルム・内積を定義）→距離空間

こんなイメージは即刻捨てましょう．百害あって一利なし．
なんでこんなイメージができたんだい？

＞アフィン空間がベクトル空間となるとは、一次結合の係数和が1の時という認識はOKでしょうか？

まったく違います．
ベクトル空間の部分集合で
一次結合の係数の和が0になるものが
アフィン空間（の一例）になるということ．
きちんとこれがアフィン空間の定義を満たすことを証明できますか．
たとえば，e1=(1,0), e2=(0,1)
としたととき
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
という集合は，中学校風に書けば x+y=1 であり，
これはアフィン空間であるということは前にも指摘しました．
e1=(1,1), e2=(0,1)とすれば
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
という集合は，中学校風に書けば y=1 となるというわけ．

＞ベクトルの定義はそれぞれの集合で任意に行う事が出来るという認識でOKでしょうか？

まったくだめ．
ベクトル空間ってのは
数学で扱う空間の中でも特別に扱いやすいもので，
ベクトルが定義できる集合ってのはきわめて特異．
めったにベクトル空間なんて存在しませんし，
集合に任意にベクトルの定義を行うことなんかできません．

==============================
前の質問の回答も一緒にしてしまおう
affine空間ってのは，Euclid空間とは別であるが
理論的には別にあってもなくてもかまわない．
研究対象としては袋小路なんだし．
けど，工学的な実用の面ではきわめて有用である．
そういう意味では「Euclid空間」ではうまく扱えないから
affine空間で考える．どういうことかというと
affine空間で考えると，平行移動も行列でかけてきわめて楽なんです．
平行移動・線型変換が一緒に扱えるってことが利点です．

お礼

いつもご回答本当にありがとうございます。

なるほど！！
affine空間は工学的な実用の面で極めて有用なのですね。
平行移動・線型変換が一緒に行列で表せるという事が利点という事で納得しました。大変わかりやすい説明ありがとう御座います。

＞ベクトル空間の部分集合で
＞一次結合の係数の和が0になるものが
＞アフィン空間（の一例）になるということ．
ベクトル空間は任意の一次結合について閉じていなければなりませんよね。
そして、アフィン空間は一次結合の係数和が1の場合だけ閉じていれば良いと過去のQAに記載されていたもので・・・
アフィン空間の一次結合の係数和が1の場合はベクトル空間と同じであると認識しておりました。係数和は1ですよね？
（http://okwave.jp/qa4747075.html）

e1=(1,0), e2=(0,1)とすれば、{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}という集合は x+y=1を表すというのが良くわからないのですが・・・
もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
線形代数の参考書の基底の項を読んでみたのですがよくわかりませんでした・・・

ベクトルが定義できる集合が極めて特異であり、ベクトル空間はめったに存在しないのですね。知らなかったです。かなりありふれた空間だと思っておりました。

ある集合→（位相を入れる）→位相空間→（ノルム・内積を定義）→距離空間
はイメージ的ににはOKなんでしょうか？

wikiとwikipediaはまったく別物だったのですが、wikipediaのつもりでwikiとしておりました。以後、改めます。ご指摘ありがとう御座います。

補足

追加で質問させて下さい。

少し考えたのですが、ベクトル空間ってそんなに滅多に存在しない空間なのでしょうか？
3次元ユークリッド空間なんかはとても身近なベクトル空間だと思うのですが・・・

回答No.1

Tacosan

アフィン空間はベクトル空間を一般化したものと考えることができます. ですので, ベクトル空間は必ずアフィン空間です. 逆に, アフィン空間は必ずしもベクトル空間ではありません.
そして, あなたの
「ある集合→（ベクトルを定義）→ベクトル空間→（位相を入れる）→位相空間→（ノルム・内積を定義）→距離空間」
というイメージも正しくありません. 本当は
ある集合→（位相を入れる）→位相空間→（ノルム・内積を定義）→距離空間
とするべきところです (内積を導入すれば直ちに距離空間になるかどうかは議論のあるところのはずだがとりあえず無視). 距離空間や位相空間は, 必ずしもベクトル空間である必要はありません.
「ある集合」と「位相空間」の間に (本来は無関係な) 「ベクトル空間」を入れてしまったがために, アフィン空間が外れてしまったのではないでしょうか.

お礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど、アフィン空間はベクトル空間を一般化したものでベクトル空間は必ずアフィン空間なのですか。
アフィン空間がベクトル空間となるとは、一次結合の係数和が1の時という認識はOKでしょうか？

ある集合→（位相を入れる）→位相空間→（ノルム・内積を定義）→距離空間で理解できました。
ベクトルの定義はそれぞれの集合で任意に行う事が出来るという認識でOKでしょうか？