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アフィン変換と線形変換の違い、定義に関しての質問
- アフィン変換とは、線形変換を含む変換であることです。
- 線形変換はアフィン変換の部分集合です。
- 線形変換がアフィン変換を含むということが言えます。
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質問者が選んだベストアンサー
線型変換を定義するとき、[1] の他に… [1'] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a∈K について常に f(x+y) = f(x) + f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 [1''] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき f(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 …などとしても善いです。 [1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることは 簡単に示すことができます。 高校の教科書では、[1] より [1'] のほうが お馴染みじゃないかな？ で、[1''] と [2] を比べてみると、 線型変換とアフィン変換の対比が よりハッキリするかと。 線型変換では、スカラー倍するという操作が 変換の前後で保存されることから、 スカラー倍の相似中心である原点の存在が 重要になってくるのです。
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- alice_44
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前回の回答者です。 条件 [1] が成立すれば、条件 [2] も成立するのだから、 ある空間が [1] を満たす空間(線型空間)のひとつであれば、 [2] を満たす空間(アフィン空間)のひとつでもある …ということです。 ベン図参照。
補足
ご回答ありがとうございます。まだ、少し混乱しています・・・ 線型変換の定義： [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 ⇒線形変換が成立する条件は、原点が定められている場合のみであるからアフィン変換より条件が厳しい。 アフィン変換の定義： [2] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 ⇒アフィン変換が成立する条件は、原点を通らずともa+b=1 が成り立てば良い。 という認識で良いでしょうか？ また、a+b = 1 は直感的には何を表しているのでしょうか？
- kabaokaba
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[1]=>[2] なんだから {[1]を満たす要素の集合}⊂{[2]を満たす要素の集合} だというだけ． 集合の包含関係と命題の因果関係が ごっちゃになってないか？ そもそも，アフィン「空間」ってのは 線型「空間」の拡大概念なんだから アフィンの方が広い． アフィン空間に「原点という特別な点」を付与したのが線型空間． 条件がきついほうが小さくなるのは当然でしょう． もっと「直観」を養いましょう． 機械的な計算だけではすぐに行き詰ります
補足
ご回答ありがとうございます。本当に親切にご回答頂きありがとうございます。 すっきりしました。 なるほど、定義も一つではないのですね。 「スカラー倍の相似中心である原点の存在が重要になってくる」と言う事が原点を表すと認識しました。 ［2］（アフィン変換）の定義にはf(ax) = a f(x) がないので条件としても厳しいこともすっきりしました。 [1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることはどのように示せば良いのでしょうか？ 具体的に、（0,1），（1,0）などのベクトルを与えて考えれば良いでしょうか？