一次変換

質問

定義1:平面上の点P(x,y)から点P'(x',y')への変換fが次の条件を満たす。
f:{x'=ax+by
{y'=cx+dy (a,b,c,dは定数)
定義2:任意のベクトルx,yと定数αに対して変換fが次の2つの条件を満たす。
(1)f(x+y)=f(x)+f(y)
(2)f(αx)=αf(x)

定義1は定義2を満たすことを示せ。
また、定義2は定義1を満たすことを示せ。

証明するような問題は苦手で、どうしたらいいのか全く分かりません。
どなたか教えていただけないでしょうか？
詳しく解説していただけると有難いですが、解くためのヒントなどでも良いので、お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

定義1 と定義2 で文字 x, y の用途が違うことは、頭が混乱するもとになりがち。
定義2 の方の文字を換えとこう。

定義2: 任意のベクトル u, v と定数 α に対して変換 f が次の2つの条件を満たす。
(1)f(u+v) = f(u) + f(v)
(2)f(αv) = αf(v)

さて、定義1 ⇒ 定義2 は…
u = (x1,y1), v = (x2,y2), f(u+v) = (x',y') と置くと、
x' = a(x1+x2) + b(y1+y2) = (ax1+by1) + (ax2+by2),
y' = c(x1+x2) + d(y1+y2) = (cx1+dy1) + (cx2+dy2)
であるから、f(u,v) = f(u) + f(v).
成分ごとに計算して、後でベクトルにまとめた訳。

定義2 ⇒ 定義1 は…
e1 = (1,0), e2 = (0,1), f((x,y)) = (x',y') と置くと、
(x',y') = f((x,y)) = f(xe1+ye2) = xf(e1) + yf(e2).
f(e1) = (a,c), f(e2) = (b,d) と置けば、
x' = ax+by, y' = cx+dy になっている。

お礼

回答ありがとうございます。
文字を換えたら分かりやすくなりました！
まだ何となくですが、分かってきました(^^)

回答No.1

Tacosan

例えば
f: x' = 2x + 4y, y' = x - 3y
が定義 2 を満たすことは証明できますか?

補足

回答ありがとうございます。
恥ずかしながら、どうしたら証明できるのか見当もつきません(;_;)
まず、どうして定義を満たしているのかも分かりません。