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線形変換の定義

線形変換の定義 以前から何度が質問させて頂いている者です。 新規で質問させて頂きます。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5985949.html 前回の質問内容で、線形変換の定義において 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 について定義の取り方で、a+b=1を一次関数と見なせるとご回答頂きました。 回答頂いた内容は私には難しかったので内容を読み返します。 ここで、f(ax+by)という関数は具体的にはどのような関数になるのでしょうか? 具体的に式を記載して頂けると有り難いです。 線形空間であれば、y=axのイメージなのですが・・・うまくイメージ出来ません・・・ 以上、よろしくお願い致します。

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a+b=1だけを一次関数と見なせるとはいってません 「「…a+b=1~は一次関数を表す」でよい」の中で 省略された~の部分を復元すると、 (x,y∈V, a,b∈K について) 「a+b=1 のとき f(ax+by)=af(x)+bf(y) が成り立つとき f は一次関数を表す」 となります。 線型変換の定義: [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 アフィン写像(一次関数)の定義:(2) 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 線形変換fは任意のa,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つから a+b=1のときも当然f(ax+by) = a f(x) + b f(y)が成り立つから 線形変換fはアフィン写像(一次関数)となります。 しかしアフィン写像(一次関数)fは線形変換とならない場合があります。 線形変換でない一次関数(アフィン写像)の例) f(x)=x+1 a=1/2,b=1/2,x=1,y=1,a+b=1 → f(ax+by)=f((1/2)*1+(1/2)*1)=f(1)=2=1+1=(1/2)*2+(1/2)*2=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y) a=1,b=1,x=1,y=1,a+b≠1 f(ax+by)=f(2)=3≠4=1*2+1*2=1*f(1)+1*f(1)=af(x)+bf(y) 線形変換の例) g(x)=x a=1/2,b=1/2,x=1,y=1,a+b=1 → g(ax+by)=g((1/2)*1+(1/2)*1)=g(1)=1=1/2+1/2=(1/2)*1+(1/2)*1=(1/2)g(1)+(1/2)g(1)=ag(x)+bg(y) a=1,b=1,x=1,y=1,a+b≠1 g(ax+by)=g(2)=2=1*1+1*1=1*g(1)+1*g(1)=ag(x)+bg(y) ・なお全単射アフィン写像をアフィン変換といいます。

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質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 (x,y∈V,a,b∈Kについて)「a+b=1」のとき f(ax+by)=af(x)+bf(x)が成り立つときfは一次関数を表す。 という事で理解しました。 線形変換の定義を整理すると、 :線形変換の定義(1)  体K上のベクトル空間V上の変換fで、x,y∈V,a∈Kについて常に  f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立つもの。 :線形変換の定義(2)  体K上のベクトル空間V上の変換fで、x,y∈V,a∈Kについて常に  f(x+y)=f(x)+f(y),f(ax)=af(x)が成り立つもの。 :線形変換の定義(3)  体K上のベクトル空間V上の変換fで、x,y∈V,a∈Kについて「a+b=1」  のとき、f(ax+by)=af(x)+bf(y),f(ax)=af(x)が成り立つもの。 線形変換の定義(1)~(3)は全て同じ意味だと思いますが、アフィン変換と対比する際に 定義(3)が分かりやすいため定義(3)を採用しようと思います。 ここで、(x,y∈V,a,b∈Kについて)「a+b=1」のときf(ax+by)=af(x)+bf(x)が 成り立つときfは一次関数を表し、f(ax)=af(x)も成り立てば、比例(線形変換) を表すという事で理解しました。 この度は本当にありがとう御座いましたm(_ _)m また、別質問で大変恐縮なのですが、アフィン写像の始域と終域とは何を表しているのか ご教示頂けるとありがたいです。 URL:http://okwave.jp/qa/q6009380.html 以上、よろしくお願い致します。

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