[-∞,+∞]は線形空間である証明で

質問

[-∞,+∞]が実数体R上の線形空間となる事を下記のように示しました。
スカラー倍f:RX[-∞,+∞]→[-∞,+∞]をf(a,x):=ax x∈Rの時、±∞ a>0且つx=±∞(復号同順)の時、\mp ∞ a<0且つx=±∞(復号同順)の時(但し\mpはマイナスプラスの意味)、 0 a=0の時。
と定義すれば線形空間の定義
f(a,x+y)=f(a,x)+f(a,y),
f(a+b,x)=f(a,x)+f(b,x),
f(ab,x)=af(b,x),
f(1x)=f(x) for∀a,b∈R,x,y∈[-∞,+∞].
を満たしますよね?
このfの定義で大丈夫でしょうか?

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

ちょっとまとめましょうね。

V=R∪{∞}∪{-∞} に加法 V×V→Vを導入し、Vが加法群にし、かつそのV上の加法のR上への制限が元のR上の加法と一致するようにしたい、かつ∞∉Rとします。
Vは加法群でないといけないので、∞ + (-∞) = 0です。
すると、先ずa = ∞+1という元を考えると、仮にa∈Rとすると、 ∞ = a-1 ∈ Rとなって矛盾。 a = ∞ とすると ∞+1 = ∞から 1 = 0となって矛盾。なので、a = -∞でないといけない。
同様に ∞+2 も -∞でないといけない。 ところが ∞+1 = ∞+2 となって 1 = 2となるから、矛盾する。

というわけで、元のRの構造を壊さずに、V = [-∞, ∞] を加法群にする方法は存在しない、従ってVをベクトル空間にする方法はないことが分ります。

回答No.2

tmpname

念のために可換群の定義を書いておくと、

* 結合律 x+(y+z) = (x+y) + z
* 単位元の存在 ある元 「0」が存在し、任意のVの元xに対して x+0 = 0+x = xを満たす
* 逆元 任意のVの元xに対して あるげん yが存在し、x+y = y+x = 0を満たす
* 可換律 x+y = y+x

回答No.1

tmpname

その前に、集合Vが体K上のベクトル空間である為には、Vが加法に関して可換群である必要があります。

今の場合 V=R∪{∞}∪{-∞}として、加法 V×V→Vがきちんと定まっていて、それがきちんと可換群になっている必要があります。例えば、∞+∞はVの元である必要があります。しかし、∞+∞ = ∞ と定義してしまうと、両辺に-∞を足して（あくまでVは可換群でないといけないので） ∞ = 0となって、これではおかしい。その他の定義でも、（確認してませんが）多分うまくいかないでしょう。

それで...
感覚として、『∞』という元というのは、どのRの元より大きい、という風にしたいでしょうから、それは結局不定元『x』とおなじように振る舞うはず、ということに気づくと、どう修正する必要があるか、見えてくるのではないでしょうか。