線型空間であることの証明

質問

ある集合が与えられ、それが線型空間であることを証明するには何を示せばいいのか教えてください！
大学のレポートで出題されたのですが、線型空間の定義などを読んでもこの問題をどう解いていいのかわからなくて・・・以下に問題をそのまま転載します。

次の集合が実線型空間であることを示しなさい。
1) V1={(x1 x2 x3)| xi∈R(i=1,2,3)& x1+x2=x3}
2) V2={f(x)|f(x)は開区間I=(0,1)で定義された二回微分可能な実数値関数で、微分方程式f"(x)+3f'(x)+2f(x)=0を満たす。}

本当に何をしてよいか解らない状態なので、どういうことを示せばいいのか、どう考えるきっかけを作ればいいのかといったことでも結構ですので宜しくお願いします。

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

では，一部だけ計算してみます．
1)(1)結合法則：(a+b)+c=a+(b+c)
V1の元a=(a1, a2, a1+a2), b=(b1, b2, b1+b2), c=(c1, c2, c1+c2)に関して
(a+b)+c=(a1+b1, a2+b2, a1+a2+b1+b2)+(c1, c2, c1+c2)
=(a1+b1+c1, a2+b2+c2, a1+a2+b1+b2+c1+c2)
=(a1, a2, a1+a2)+(b1+c1, b2+c2, b1+b2+c1+c2)
=a+(b+c)
よって，交換法則は成り立つ．
…以下同じような計算で
2)(3)分配法則：(k+l)a=ka+la
V2の元a=p(x)として
b=q(x)=(k+l)aについて考える．
b=(k+l)a=(k+l)p(x)=kp(x)+lp(x)
分配法則は成立しているが，bがV2の元であるかは現時点では不明である．
そこで次の値を計算する．0となればV2の元であり，そうでなければV2の元ではない．
q"(x)+3q'(x)+2q(x)={(k+l)p(x)}"+3{(k+l)p(x)}'+2{(k+l)p(x)}=(k+l)p"(x)+3(k+l)p'(x)+2(k+l)p(x)
=(k+l){p"(x)+3p'(x)+2p(x)}=0
したがって，b∈V2
これで分配法則は示せたことになると思います．
って感じでやっていけばいいと思います．
もっといい方法があるかもしれませんね．

回答No.3

Rossana

#2のところちょっと記述不足があったので，訂正して下さい．
＞b=(k+l)a=(k+l)p(x)=kp(x)+lp(x)
＞分配法則は成立しているが，bがV2の元であるかは
を
b=(k+l)a=(k+l)p(x)=kp(x)+lp(x)=ka+la
(k+l)a=ka+laとなり分配法則は成立しているが，bがV2の元であるかは
に訂正お願いします．

お礼

本当にありがとうございました。
とても丁寧に書いていただいて大変参考になりました！
線形空間が何者であるかすらよくわからなかったのですが、少し理解できた気がします。
また質問させていただくときにはよろしくお願いします。

回答No.1

Rossana

☆和の性質
(1)結合法則：(a+b)+c=a+(b+c)
(2)交換法則：a+b=b+a
(3)零ベクトルの存在：a+0=0+a=aを満たすただ1つの元0が存在する．
(4)逆元の存在：a+x=x+a=0を満たすただ1つの元xが存在する．
☆スカラー倍の性質(k, l∈R)
(1)単位元1の存在：1・a=a
(2)分配法則：k(a+b)=ka+kb
(3)分配法則：(k+l)a=ka+la
(4)結合法則：(kl)a=k(la)

これらの性質をすべて満たせば線型空間と言えるので，これらの性質を満たすかどうか調べればいいのではないでしょうか．

補足

早速のお返事ありがとうございます。
ただここに挙げたのが問題文のすべてでして・・・１）の場合、xiが実数だから結合法則や交換則が成り立つ、といった記述でいいのでしょうか？
理解力が乏しくて申し訳ありません