線形空間の同型について

質問

p、ｑを実数とし、R^5の線形部分空間V、Wを

　V={t(x1 x2 x3 x4 x5) |
　　　 2x1+(q-2)x2-4x3-(p+3)x4+2x5=0
　　 　 　　　　(p+1)x2+2qx3+(p+1)x4+qx5=0,
　　 　 6x1+(p+3q-5)x2+(q-12)x3-(2p+8)x4+(q+6)x5=0}

W={t(x1 x2 x3 x4 x5) |
　　 　2x1+(p+q-1)x2+(q-4)x3-2x4+(q+2)x5=0,
　　　　　 　 p(p+1)x2+qx3+p(p+1)x4+p(p+1)x5=0}

と定義します。このとき、V、Wが線形空間として同型となるための、p、qに関する必要十分条件を求めたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか？
　一応同型の定義等は知っています。定義通り考えるのであれば、V、Wに関する同型写像を考えればよいと思うのですが、この場合、適当にそのような写像を考えればよいのでしょうか？正直お手上げ状態です。どなたかご教授お願いします。よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

線型空間は、「基礎体と次元が同じなら同型」です。

お礼

お返事ありがとうございます。この場合、R^5の部分空間なので、次元について、p、qの条件を求めればよいのですね。的確なご意見ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「V と W が同型である」ことを示す簡単な方法は「V と W に関する適当な同型写像を与える」こと. 一般には複数の同型写像が考えられますが, どんなものを持ってきてもかまいません.
といっておくけど, 線形空間に関して言えば「次元が同じなら同型」じゃなかったっけ? 次元が同じなら基底の本数も同じなので, それらの間に適当な線形写像を与えれば自動的に同型写像になるような気がするんだけど.

お礼

お返事ありがとうございます。線形空間の場合次元が等しければ同型となるのですか。わかりました。ご教授ありがとうございます。