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射影空間の定義について

射影幾何のついて学び始めたのですが、抽象的なためか定義の理解に苦しんでいます。 「複素ベクトル空間Vの射影化P(V)とは、V\0の同値関係~による商である。」とあり、直後の問題で、「このP(V)とVの1次線形部分空間の集合と自然な1体1対応があること示せ。」とあります。私としては、n次元ベクトル空間Vに対する1次元部分ベクトル空間との1体1対応、かと思っていたのですが、違う本を参照してみると、 「Def.ベクトル空間Vの1次元線型部分空間をP(V)とかき、射影空間と呼ぶ。Vがn+1ならばP(V)はn次元であるという。」と、ありました。 質問は次です。 Q,下の定義において、1次元線形部分空間なのに、なぜn次元の話になるのか。 この時、上の問題の回答は、 (x0,x1,…,xn)→(x1/x0,…,xn/x0) と対応付ければ終わりでしょうか。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.2

No.1です >問題についてですが、座標があるとすれば、x0=0の場合はx1からxnをそのまま対応させることで良いのではないかと考えます。 座標があるとしても x0=0のときにx1からxnをそのまま対応というのはだめです. (1,1,...,1)と(0,1,...1)が同じ点に対応することになります. そして,そもそも 一般のベクトル空間には「基底に依存しない座標」は存在しません. しかし,実際は 質問中にある「自然な対応」は存在するのです.

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  • 回答No.1

>複素ベクトル空間Vの射影化P(V)とは、V\0の同値関係~による商である。 「V\0」というのと「~」というのの定義が不明だから 意味が通じません. V-{0}における関係~を以下のように定める V-{0}の元,a,bに対して 0ではない複素数kが存在し,a=kbとなるとき a~bと定める. このとき関係~は同値関係となる. そこで,V-{0}の~による商をP(V)と表す. この定義だとすると P(V)={[a] | a はV-{0}の元} であり, [a]と「Vにおいてaが生成する一次元部分ベクトル空間」を対応させればよい. この対応はwell-definedであることは一応証明が必要. >Def.ベクトル空間Vの1次元線型部分空間をP(V)とかき、射影空間と呼ぶ。Vがn+1ならばP(V)はn次元であるという。 本当にこんなこと書いてますか? まず,「1次元線型部分空間をP(V)」←これ間違い 正しくは「1次元線型部分空間の集合をP(V)」とかくべき. それに, 「Vがn+1ならばP(V)はn次元」 これもおかしい.Vはベクトル空間なので次元の定義は明確だけど P(V)は現状ではたんなる集合にすぎないので, そもそも次元の概念が未定義でしょう. >Q,下の定義において、1次元線形部分空間なのに、なぜn次元の話になるのか。 「下の定義」なんてものは不明ですが, 一次元線形部分空間を集めれば,それがn次元分ある (次元の定義はもちろん必要)ということ. 直観的には,n+1次元の中の「原点を通る直線」だけ集めたので, n+1個ある自由度のうち一個が固定されてしまって 自由度が一個へった感じ. 実際は多様体としての次元がnであるということなんですが ここらはあなたが何をすでに知っているかが分からないので どうにも説明は難しいです. >(x0,x1,…,xn)→(x1/x0,…,xn/x0) と対応付ければ終わりでしょうか。 本質的にはそうなんだけど そもそもVに座標はありますか? かりに座標が存在したとして,この対応は座標に依存していいのですか? さらに,x0が0だったらどうしますか? これに対する答えは,すでに上で述べています. 「自然な対応」とか言う場合は,ほんとうに明確なものがあることをいうのです.

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質問者からのお礼

返答有難う御座いました。 「1次元部分ベクトル空間の”集合”」がP(V)でした。 問題についてですが、座標があるとすれば、x0=0の場合はx1からxnをそのまま対応させることで良いのではないかと考えます。 多様体についてはまだ勉強不足です。 丁寧な回答有難う御座いました。

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