線形空間の問題

質問

X1
W={(X2)|X1>X2>X3}
X3
が線形空間になるかという問題なんですが、
まったくわかりません。X1,X2,X3はベクトルなんでしょうか？教えてください！！

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

線形空間ではまず、加法とスカラー倍が定義されています。
つまり、a,bをベクトル、kをスカラーとすると、
a+b、kaがその線形空間のベクトルでなければならない。
k=-1としたのが、先の回答の一例。

さらに、線形空間は加法に関して群をなしているので、０ベクトルと、
ベクトルaに対する逆元である-aが、その線形空間に入っていなくては
ならない。ベクトルaに対して、その逆元は-aなので、これで
考えても同じ。

お礼

回答ありがとうございます。
では、W={(X1 X2 X3)|X2=X1+1}でしたら
どのような解答になるのでしょうか？

回答No.4

zk43

W={(X1 X2 X3)|X2=X1+1}では、そもそもゼロベクトル(0,0,0)が含まれ
ていないのでだめですね。
イメージとしては、線形空間とは原点を中心として対称な空間のように
考えておくと良いと思います。
つまり、線形空間とは原点を中心として、その空間内で、どの方向にも
まっすぐに延びることができるということです。

回答No.2

mazoo

詳しい設定が無いので断言はできませんが、x1,x2,x3は実数であって、この場合はベクトルとみなしません。
(x1,x2,x3)でひとつのベクトル(Wの元)とみます。
Wは3次元の数空間の部分集合として解釈します。またその和、スカラー倍も高校でやったような自然な和、スカラー倍を用いてよいでしょう。

このときこのWは線形空間になりません。
定義から線形空間は零ベクトルを含まないといけません。
(線形空間の元の0倍もその線形空間に属するからです。)
この場合(0,0,0)はWの元ではないので、線形空間にならないのです。

Wの条件を少し変えて
W={(x1,X2,x3)|X1≧X2≧X3}
にしたとしても線形空間になりません。
この場合(0,0,0)はWに含まれますが、Wの元をひとつとったときにその-1倍がWに属さないからです。
例えば(3,2,1)∈Wですが、
その-1倍の(-3,-2,-1)はWに属しません。
線形空間の定義をしっかり確認すれば、すぐわかるようになると思います。

お礼

わかりやすい＆迅速な回答ありがとうございます。
まだ完全には理解していませんが、何とかがんばりたいと思います。

回答No.1

zk43

X1,X2,X3はベクトルではなくて(X1,X2,X3)を３次元のベクトルと考えて
いるのでしょうね。ベクトル自体には大小関係はありませんからね。
実３次元の線形空間で考えることにして、(X1,X2,X3)がX1>X2>X3
を満たしていても、-(X1,X2,X3)=(-X1,-X2,-X3)は-X1<-X2<-X3になっ
て、これはＷに入らないので、Ｗは線形空間ではないですね。

お礼

迅速な回答ありがとうございます。
もう一個聞かせてもらえば、これは線形空間の定義の内の
どれに反してしまうのでしょうか？