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ベクトル空間の問題解説｜直交補空間とベクトルの関係
- 設問1では、与えられたベクトルaとbが張る部分空間Wの直行補空間W⊥を求める問題です。aとbのベクトル成分が直行するため、任意のベクトルをx={x1 x2 x3}とおくと、(4*1)x1 + (1*1)x2 + (0*3)x3 = 0となります。この方程式を解くと、4*x1 = -x2となり、x3は任意の値です。よって、W⊥は{x|k -4k k}と表されます。
- 設問2では、与えられたベクトルcがx∈Wとy∈W⊥の組み合わせとして表されるxとyを求める問題です。具体的にx、yを求める手法については質問文章中で解説されていません。質問者は解き方がわかっているが、具体的な理由がわからないと述べています。
- ベクトル空間の問題のうち、設問2が理解できない部分についての解説を求めています。
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たびたびすみませんＮｏ．２です。 Ｗを先にあげてみますよ。 Ｗは ３点（０，０，０），（４，１，０），（１，１，３）を 含む平面ですから、 Ｗ＝ｅＸ＋ｆY＋gＺ＋ｈ＝０ （efgh は実数ね） これに代入して連立方程式を解く。 平面の方程式をあげたほうが後々楽かな？ e＝ｇ，ｈ＝０，f＝－４e が得られます。 きれいに数値として出てこないけど、 ｋって使われてるから、 同じにしておきますよ。 Ｗ＝ｋＸ－４ｋＹ＋ｋＺ＝０ (1) （ｋも実数（任意ですね）） Ｘ成分とＺ成分の係数が一緒なんだね！ Ｎｏ．２のところで、「Ｚ成分が任意ならＸ成分と一緒ではないよ」 と、書いていますが、一緒ですね。 これでＯＫです。（ちゃんと計算してから書かなかった私が一番悪い） さて、Ｗの直交補空間だけども・・・・ (1)式から、自動的に 法線ベクトルはでていますから、 W⊥={x|k -4k k} (2) でベクトルとしてＯＫです♪ ～～～～～ a,bのベクトル成分が各々直行するので, 任意のベクトルをx={x1 x2 x3}とすると, (4*1)x1+(1*1)x2+(0*3)x3=0 ～～～～ このやり方は、成立しているのかどうかが分からないけれど、 こういうやり方があるのかな？ ＃あったらそれでＯＫです。 何せ結果が同じなので。 でね、(2)式から得られる、平面になるはずだけど 方程式を出しておいたほうがいいかも？ 今ベクトルしか分からないから、それが作る平面を出しといてあげたほうが、問２の時に楽なのかな？ 少し考えてみてください ｍ（＿ ＿）ｍ 重ね重ね申し訳ないのですが、グラフを一生懸命書こうとしているんだけど、うまく行かない＞＜ 画像上げると、よく見えないし＞＜ ソフトある人書いてください ｍ（＿ ＿）ｍ
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- B-juggler
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すいません Ｎｏ．２ です。 Ｎｏ．３って消せないかなぁ？？ 無視してください ｍ（＿ ＿）ｍ 原点が交差点だね。何考えているのか、自分でも大ボケです。 申し訳ない。 図計書くソフトがないので、手書きか、ペイントくらいになるけど ちょっと待っててね～。 まことに申し訳ない ｍ（＿ ＿）ｍ
- B-juggler
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すいません Ｎｏ．２です。 計算するので、ちょっと待ってね。 どうやって解こうかと思っていることだけ先に、書きましょう ＃うまく行けば同時進行でいけるかもしれないから♪ まず Ｗを求めよう。２次元平面だよね。 ＃２直線で得られる空間なので。 ベクトルａとベクトルｂから得られる、直線ａ’，ｂ’を求めて 交点を出そうかなと思っています。 原点と、後どこか一箇所、ａ’かｂ’上の一点が求めて、 ３点を含む平面を作るかな？ 今はこれをやろうとしています。 で、直交する平面になりますね、W⊥これはね。 平面Ｗに垂直に立つ、ベクトルを出してあげればいいから 簡単に図を描いて考えてみようかな・・・。 ＃内積０を使うんだろうけど。 これまでこれれば、２番もそんなにきつくないかな？ 私もしっかり計算して見ますね。 多分こういう方針で大丈夫だと思います。 ＃まずかったらどなたかフォローお願いしますｍ（＿ ＿）ｍ
- B-juggler
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ごめんなさいね、ちょっときつい言い方になるかもしれないけど。 いきなり補空間を探すよりも、まず先に ベクトルａ，ｂからなる、空間（Ｗかな？）を求めましょう。 そこに直交する補空間を求めたほうが、万全だと思います。 ＞4*x1=-x2, x3は任意の大きさとなり, ＞W⊥={x|k -4k k}, k:任意の定数. ここのＺ軸の成分は、何でもいいわけだよね Ｘ成分と同じにしているとまずいと思うよ。 ＃ちゃんと解いてはいないけど、あっているとすればね。 （２）はＷが分かっていれば、ｘベクトルは出せるよね。 Ｗの補空間も分かっているから、、ｙベクトルも出せるよね。 ベクトルの足し算をやって、それがＣベクトルと等しくなるように求めればいいんだよね。 一個一個噛み砕いて解いたほうがいいと思いますよ。 あせって一気にやっちゃうよりも、こういうのは特に、一個一個つぶしていったほうがいいと思う。 ちゃんと計算してみますね。
補足
どうやら全く的外れなことをやってしまっているようなので、 一から教えていただけないでしょうか…？ お手数をお掛けします…よろしく御願いします
- Tacosan
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1 の答えは, 結果はなぜかあってるけど導き方は間違っている. 疑問点を以下に列挙すると ・最初の「a,bのベクトル成分が各々直行するので」の意味がそもそも分からん. ・その後の「任意のベクトルを」は「W⊥ の任意のベクトルを」としないとだめ. ・その次の方程式はどのように導かれたのかが分からん. ・方程式の解が「4*x1=-x2, x3は任意の大きさ」であるのは正しいんだけどそこから「W⊥={x|k -4k k}, k:任意の定数」がなぜ得られるのか不明. つまり「いろいろなところが間違っているにも関わらず, 最初と最後だけを見るとなぜかつじつまが合っている」状態. 2 の方は「c=x+y(x∈W, y∈W⊥)」から x と y の成分に関する方程式を立てるんだろうなぁ. あなたのいう「解き方」がどうなってるか知らんけど. ちなみに「直行」じゃなくて「直交」ね.
補足
とても丁寧な回答ありがとうございます 学校の試験があるので時間が空いてる時を見て じっくり見て解いてみます 質問があったら伺わせていただくかもしれません、、 本当にありがとうございます