数学（ベクトルの交点について求める問題）

質問

三次元空間中にある重ならない二点Ａ（x1,y1,z1）とＢ（x2.y2,z2）があって、Ａを通り、方向ベクトルV1=(a1,b1,c1)である直線Ｙ1とＢを通り、方向ベクトルＶ2＝（a2,b2,c2）である直線Ｙ2が,とある一点Ｃ（x,y,z）で交わる。Ａ,B,V1,V2が分かっているとき、点Ｃを求めなさい。という問題についてですが、
以下のような考え方（説明は下手ですが）で合っているのでしょうか？

ベクトル方程式より
xについて
x1+ｔa1＝x2+ｕa2
yについて
y1+ｔb1＝y2+ｕb2
zについて
z1+tc1＝z2+uc2

という考え方です。
間違っていれば指摘して頂ければ幸いです。

また、ここから交点Cについてどのように求めればよいのでしょうか？

回答No.4

alice_44

x1+ta1＝x2+ua2
y1+tb1＝y2+ub2
z1+tc1＝z2+uc2
から、どの二本を選べば u,v が求まるかは、
個々の a1,b1,c1,a2,b2,c2,x1,y1,z1,x2,y2,z2 に依るから、
一概には言えない。やってみるしかないが…
最初に選んでみた二本が他方の定数倍どうしでなければ、
その二本で求まるし、
定数倍どうしでならば、その一方と第三の式とで u,v が出る。
ともかく、与えられた二直線が一点で交わると予め判っていれば、
解の存在についての場合分けを気にせず、安心して解くことができる。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1に連立方程式とそれを解いた結果について検証すると
x3=x1+ｔa1＝x2+ｕa2　...(1)
y3=y1+ｔb1＝y2+ｕb2 ...(2)
z3=z1+tc1＝z2+uc2 ...(3)
つまり
C(x3,y2,z3)=A(x1,y1,z1)+V1(ta1,tb1,tc1)
=(x1+ta1,y1+tb1,z1+tc1) ...(4)
この式の12個の定数{x1,y1,z1,a1,b1,c1,x2,y2,z2,a2,b2,c2}
の内、11個は特立な定数(自由に決められる定数、他の1個の定数)は
A#1のx1の式
x1=(a1(b2*(z2-z1)-c2*y2+c2*y1)+a2(b1(z1-z2)+c1(y2
　-y1))+(b1c2-b2c1)x2)/(b1c2-b2c1)　...(5)
が2本の直線Y1,Y2が交わるための制約条件の式になります。
つまり、
A(x1,y1,z1),V1(a1,b1,c1),B(x2,y2,z2),V2(a2,b2,c2)
の要素（成分）{x1,y1,z1,a1,b1,c1,x2,y2,z2,a2,b2,c2}の12個全てを独立に与えると、直線Y1,Y2が交わる保証がなくなります。例えば、x1を除いた11個は独立に与え、x1を(5)式で与えれば直線Y1とY2が点C(x3,y3,z3)で交わるようになります。
具体例として
A(x1,y1,z1)=(x1,2,-2),
V1(a1,b1,c1)=(1,-2,3)
B(x2,y2,z2)=(3,-2,3),
V2(a2,b2,c2)=(-2,3,-2)
x1=(5式より)=4/5
とすれば
A#1で求めた式から
t=7/5
u=2/5
C(x3,y3,z3)=(11/5,-4/5,11/5)
が得られます。

これをプロットすると添付図のようになります。
直線Y1：青線、直線Y2:黒線、C交点：赤点
で示しました。

回答No.2

alice_44

その方程式を解いて、t,u を求めれば、
C の座標が判る。それでよいのですが…
未知数が 2 個なのに、式が 3 本ありますね？

Y1 と Y2 は、いつでも交わる訳ではないし、
一致してしまう場合もあります。
丁度一点 C で交わるという条件は、
A,B,V1,V2 に対する制約となり、その結果、
貴方の方程式は、実質的には二連立となります。

つまり、連立方程式から上手く 2 式を選んで、
二元二連立方程式として t,u を求めれば、
残りの 1 式も成立するような A,B,V1,V2 が
与えられていると書かれてあるのです。

安心して、その方程式を解きましょう。

回答No.1

info22_

> x1+ta1＝x2+ua2
> y1+tb1＝y2+ub2
> z1+tc1＝z2+uc2

後、交点Cの座標を(x3,y3,z3)とすると

x3=x1+ta1=x2+ua2
y3=y1+tb1=y2+ub2
z3=z1+tc1=z2+uc2
としてやると
方程式が６式できるので6個までの未知数に対して
連立方程式が解ける。
t,u,x3,y3,z3とx1について解けば

t=-(b2*(z2-z1)-c2*y2+c2*y1)/(b1*c2-b2*c1)
u=-(b1*(z2-z1)-c1*y2+c1*y1)/(b1*c2-b2*c1)
x3=(a2*(b1*(z1-z2)+c1*y2-c1*y1)+(b1*c2-b2*c1)*x2)/(b1*c2-b2*c1)
y3=-(b1*(b2*(z2-z1)-c2*y2)+b2*c1*y1)/(b1*c2-b2*c1)
z3=-(b2*c1*z2-b1*c2*z1-c1*c2*y2+c1*c2*y1)/(b1*c2-b2*c1)
x1=(a1*(b2*(z2-z1)-c2*y2+c2*y1)+a2*(b1*(z1-z2)+c1*y2-c1*y1)+(b1*c2-b2*c1)*x2)/(b1*c2-b2*c1)

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
補足をつけてしまいましたが、導出できました。

補足

すみません。どのように導出されたのかが全く分からないです。
何かヒントや手順について分かりやすく解説していただければ幸いです。