数学の交点の問題です。

質問

空間,xyz内で、xyの平面上に円A:x^2+y^2<=1
さらに、頂点が(0 ,0 ,1)で底がAの円錐Dとする。

z軸と平行かつA領域に属する点(x,y,0)を通る直線
と円錐Dの側面の交わる点をfとすると、fをx,yの式であらわせ。

上記のような問題なのですが、
z軸に平行で点(x,y,0)を通る直線は、

ｚ軸に平行という事は、この直線は、z=0の法線ベクトル(0,0,1)を持ち、
かつ点(x,y,0)を通るという事なので、
0*(x-x)+0*(y-y)+1*(z-0)=0
つまり、z=0が直線なわけで、これと円錐Dの側面の交わる点fをするのですが、
Dの側面の式がわかりません。どのように求めればよいでしょうか？

回答No.2

strikerzwei · ベストアンサー

まず、すでにf(X,Y,Z)とおいてX=x Y=yはわかります。

後は面倒なのでこうかんがえちゃってください。

原点と点(x,y,0)を通る直線を考える。

その直線とZ軸を新たな系と考える。

まぁよーするにZ軸とX'軸みたいなのを考えればいいんです。

すると・・・・・ただの平面の図形になります。

円錐Dの側面の式はｚ=-x'+1となり、

又、(x,y,0)を通りZ軸に平行な直線はただ単にx'=√（x^2+y^2）と書けます。

後は簡単。代入。z=-(√（x^2+y^2）) +1

Ans　f(x,y,-(√（x^2+y^2）) +1).

回答No.1

info22_

>Dの側面の式がわかりません。どのように求めればよいでしょうか？
xz座標平面での直線z=1-xをz軸の周りに一回転すれば側面の方程式が出来るだろ。
円錐Dの側面の式は
z=1-√(x^2+y^2) (x^2+y^2≦1)　…(A)
です。

>z軸に平行で点(X,Y,0)を通る直線は、
(X,Y,z),(zはすべての実数）
あるいは
(X,Y,t),(|t|＜∞)
など

一般の流通座標(x,y,z)のx,y,zと「点(x,y,0)を通るz軸に平行な直線」のx,yは別物ですから
混同しないように後者を大文字のX,Yなどを使って区別した方が良いでしょう。

>0*(x-x)+0*(y-y)+1*(z-0)=0
流通座標のx,y,zと固定点(x,y,0)のx,yは同じものではない。わけの分からん式です。

>つまり、z=0が直線なわけで、
嘘！「z=0」は直線でなく平面の式だよ。

z軸に平行で点(X,Y,0)を通る直線と円錐の側面との交点のｚ
座標fは式(A)にx=X,y=Yを代入すれば
f=1-√(X^2+Y^2)　（X^2+y~2≦1)
とでてくるかと思いますが、お分かり？