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数学IIIの問題です!

数学IIIの質問です。解き方を教えて下さい。 問題.f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dとおく。関数y=f(x)のグラフがy軸と平行なある直線に関して 対称であるとする。 (1)a,b,c,dが満たす関係式を求めよ。 (2)関数y=f(x)は二つの二次関数の合成関数になっていることを示せ。 よろしくお願いします。

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(1)y軸と平行な直線x=pに関して対称とすると f(x)=f(2p-x) を満たす。すなわち x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(2p-x)^4+a(2p-x)^3+b(2p-x)^2+c(2p-x)+d x^4,x^3,x^2,x,定数項の係数を比較して a=-4p b=4p^2 c=0 を得る。 つまり f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d =x^4-4px^3+4p^2x^2+d =x^2(x-2p)^2+d p>0としても一般性を失わない f'(x)=4x(x-p)(x-2p) 従って x→±∞でf(x)→∞ x=0で極小値d x=pで極大値p^4+d x=2pで極小値d となり、x=pについて対称 (2)関数y=f(x)は二つの二次関数の合成関数になっていることを示せ。 何を示したらよいかわかりません。考えてください。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3

No.2です。(2)を考えてみました。 (2)f(x)がg(x)とh(x)の合成関数で g(x)とh(x)がxの2次関数で表されることを示せばよい。 g(x)=x(x-2p) h(x)=x^2+d とすると f(x)=h(g(x)) g(x)とh(x)はxの2次関数である。

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  • 回答No.1
noname#145525

y軸に平行な直線の式:x=α 直線に関して対称 任意のx1について、x=α+x1のf(x)値とx=α-x1のf(x)が同じということです。 f(α+x1)=f(α-x1) (1)これを実際に計算すれば関係式は出るでしょう。 ポイントは任意のx1について成立するってことです。 アノ計算が思い浮かぶ筈ですよね。

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