数学III 楕円の共通部分の面積について

質問

お世話になります。
考え方を教えて頂けると助かります。
「２つの楕円x^2+(y^2)/3=1,(x^2)/3+y^2=1で囲まれる共通部分の面積を求めよ」
この問題では対称性を利用して、計算の省略を行っております（ｘ軸対称、ｙ軸対称、直線ｙ＝ｘに関する対称）。
確かにグラフを描くと、囲まれた領域が３つの対称性を満たしているようなのですが、・・・
■この領域について、式でそれらの対称性を示すことは可能なのでしょうか。
■それぞれ楕円がｘ軸対称、ｙ軸対称なので、その囲まれた領域もｘ軸対称、ｙ軸対称になるのでしょうか。
■２つの楕円は原点を中心とした９０°回転の位置関係にあるので、直線ｙ＝ｘに関する対称性が言えるのでしょうか。

この対称性の利用は、どうも苦手です。
宜しくお願い致します。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>「２つの楕円x^2+(y^2)/3=1,(x^2)/3+y^2=1で囲まれる共通部分 …
> …
>■この領域について、式でそれらの対称性を示すことは可能なのでしょうか。
>■それぞれ楕円がｘ軸対称、ｙ軸対称なので、その囲まれた領域もｘ軸対称、ｙ軸対称になるのでしょうか。
>■２つの楕円は原点を中心とした９０°回転の位置関係にあるので、直線ｙ＝ｘに関する対称性が言えるのでしょうか。

「式でそれらの対称性を示す」のは可能、けど、直感に訴える力は弱い。
そこに引っかかっては、もとの問いに戻れない。

　　↓ 参考 URL / 「線対称」

… にある「2 次元図形の線対称」でいうと、
この「２つの楕円」のケースは、右側の四例のうちの、左上の「正方形」のケースに当たります。

原点を中心に 90 度回転するたびに同じ図形を繰り返すケースで、45 度ごとに「対称軸」が現れます。

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%AF%BE%E7%A7%B0

お礼

178-tall様

お礼が大変遅くなり、誠に申し訳ございませんでした。

回答No.1

f272

> ■この領域について、式でそれらの対称性を示すことは可能なのでしょうか。

x軸に関して対称はxを-xに変えても式は不変ということから，
y軸に関して対称はyを-yに変えても式は不変ということから，
y=xに関して対称はxとyを入れ替えると相互に式が入れ替わるということから。

> ■それぞれ楕円がｘ軸対称、ｙ軸対称なので、その囲まれた領域もｘ軸対称、ｙ軸対称になるのでしょうか。

その通りです。

> ■２つの楕円は原点を中心とした９０°回転の位置関係にあるので、直線ｙ＝ｘに関する対称性が言えるのでしょうか。

これは違います。例えばy=√x(ただしx>0)とy=x^2(ただしx<0)は原点を中心とした９０°回転の位置関係にありますが，直線ｙ＝ｘに関する対称性はありません。

お礼

f272様

お礼が大変遅くなり、誠に申し訳ございませんでした。