4次関数 対称軸

質問

4次関数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a≠0)のグラフがy軸に平行な対称軸lを持つための条件及びlの方程式を求めよ

解き方を教えてください

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

先の質問のANo2で回答したものです。
http://okwave.jp/qa/q7942685.html

関数g(x)がy軸対称である必要十分条件は
xの定義域でg(x)=g(-x)が恒等的に成立することです。
これをf(x)に適用すれば
f(x)の対称軸x=kが存在する場合
f(x)をkだけ負方向に移動(k<0であれば正方向に移動)すれば
f(x+k)となり、これをy軸に対称移動すればf(-x+k)となります。f(x)が対称軸x=kに対して対称であれば、f(x+k)はy軸(x=0)に対して対称になるので
f(x+k)=f(-x+k) ...(☆)
が恒等的に成立します。

f(-x+k)をx軸の正方向にkだけ平行移動すると
f(-(x-k)+k)=f(-x+2k)となります。
つまり、f(x)が直線x=kについて対称であれば、

f(x)=f(-x+2k)…(★)

が(xの定義域で)恒等的に成り立ちます。

(☆)と(★)のxについての恒等式は等価です。
(☆)の恒等式
f(x+k)=f(-x+k)
が成り立っていれば、f(x+k)はy軸対称なので、f(x+k)(およびf(-x+k))はxの偶数次項だけになり、奇数次項の係数は全てゼロになります。このことから
f(x+k)=ax^4+(4ak+b)x^3+(6ak^2+3bk+c)x^2+(4ak^3+3bk^2+2ck+d)x+(ak^4+bk^3+ck^2+dk+e)
xの奇数次の係数をゼロと置いて
　4ak+b=0 ...(A)
　4ak^3+3bk^2+2ck+d=0 ...(B)
(A),(B)が成立するとき、(☆)の恒等式が成り立つことは言うまでもありません。

この先の解答は先の質問のANo.2の回答に既に書いた通りです。

(A)から、k=-b/(4a) ...(C)
これを(B)に代入してkを消去すれば

　d=-b(b^2-4ac)/(8a^2) (a≠0)...(D)

というf(x)の係数の関係式が得られます。
a(≠0),b,c,eは自由に与えて構いません。
これらの係数から(D)によりdが決まります。
求めたa,b,c,d,eに対するf(x)は

　f(x)=ax^4+bx^3+cx^2-b{(b^2-4ac)/(8a^2)}x+e

となります。
このf(x)は直線x(=k)=-b/(4a)に対して線対称になります。

[検証]適当なa,b,c,eを色々与えてdとkを計算してf(x)を決定し
y=f(x)のグラフを描いてみて、対称軸y=kに線対称な関数になっていることを確認してみてください。

補足

f(x+k)=f(-x+k)が成立するのはf(x)がx=kで対称な場合のみではないんですか？
その場合は必要条件しか満たしていないと思うのですが

回答No.5

info22_

No.2～No.4です。

ANo.4の補足について

>具体的に考えたいのでi(x)=(x-3)^2とします
>i(x)を-3だけずらすとi(x+3)
i(x+3)=((x+3)-3)^2=x^2

>i(-x)を-3だけずらすとi(-x+3)
このi(-x)は何のタメか理解不能！！
i(-x)を持ち出す考えが理解不能。
i(-x+3)=(-x)^2=x^2を持ち出すなら分かる。
これを+3ずらすと
i(-(x-3)+3)=i(-x+6)=((-x+6)-3)^2=(-x+3)^2=(x-3)^2

>i(x)がy軸対称ならばi(x)=i(-x)だからi(x+3)=i(-x+3)
「i(x)がy軸対称ならば」こんな仮定を持ち出すのはナンセンス！！　理解不能!!

>i(x)がy軸対称なのは今回の場合自明なので
自明ではない！間違ってる。i(x)=(x-3)^2のどこがy軸対称なのか？理解不能！！

なので以下の記述はナンセンスな文章！！
>i(x)がy軸対称⇔i(x+k)=i(-x+k)ですが、f(x)は自明ではないですよね？正しくない仮定「i(x)がy軸対称」をして何の積りか理解不能！！

以下も間違った仮定「f(x)がy軸対称」をしてる。間違った仮定からは間違った結論しか出てこない。
　　↓↓
>f(x)がy軸対称⇒f(x+k)=f(-x+k)であって
>ff(x+k)=f(-x+k)⇒f(x)がy軸対称は分からないですよね

>何度も読み、図も書いた結果、このi(x)の例のことを言っていると思ったのですが違うのでしょうか？
i(x)はいいとしても、理解できていないのて、論理展開が理解不能！！成り立たない仮定をしても、何の有用な結論は得られないよ！
「何度も読み、図も書いた結果」とあるけど、他分図が間違ってるかも？　理解もできていないから、誤った仮定をして誤った論理展開をしてる。そこからは正しい結果は導けないよ。

フリーソフトのGRAPESでもダウンロードして、
y=a*x^4+b*x^3+c*x^2-b*((b^2-4*a*c)/(8*a^2))x+m
と対称軸となるx=-b/(4*a) ...k=-b/(4*a)
の式を陰関数として入力してプロットして見て下さい。
同グラフィックソフトでは「e」は自然対数の底(ネイピア数)に割り当てられているので「m」を使っています。
a,b,c,mを色々変えてみて下さい。そして、同時に
yの式のxを(x-b/(4*a))でおきかえた式yを入力して見て下さい。またyの式のxを(-x-b/(4*a))でおきかえた式yを入力して見て下さい。
そしてグラフの相互関係を確認下さい。
そうすると理解できるかもしれません。

補足

ダウンロードして
k+b/(4*a)を入力してみましたがいくら平面を遠くから見てもグラフが見当たらないのですが……

回答No.4

info22_

No.2,No.3です。

ANo.4の補足について

>f(x)を-k(k＞0)だけずらすとf(x+k)
f(-x)を-kだけずらすとf(-x+k)

>f(x)がy軸対称ならば、
これは何ですか？
「f(x)は直線x=kについて軸対称ならば」
または
「g(x)=f(x+k)はy軸対称ならば」
の間違いでしょう？

>f(x)=f(-x)だからf(x+k)=f(-x+k)
これも
「g(x)=f(x+k),g(x)=g(-x)だからf(x+k)=f(-x+k)」
の間違い。

>f(x+k)=f(-x+k)ならばf(x)がy軸対称は満たしていませんよね？
当たり前、「f(x)がy軸対称」は「g(x)=f(x+k)がy軸対称」
の間違いです。
なのでこの質問は愚問です。

先の質問の回答とANo.2の回答を正しく理解されていません。
もう一度、熟読し、図を描いて理解するようにして下さい。

補足

すみません、文字が一緒でややこしくなっていますね
具体的に考えたいのでi(x)=(x-3)^2とします
i(x)を-3だけずらすとi(x+3)
i(-x)を-3だけずらすとi(-x+3)
i(x)がy軸対称ならばi(x)=i(-x)だからi(x+3)=i(-x+3)
i(x)がy軸対称なのは今回の場合自明なのでi(x)がy軸対称⇔i(x+k)=i(-x+k)ですが、f(x)は自明ではないですよね？
f(x)がy軸対称⇒f(x+k)=f(-x+k)であってff(x+k)=f(-x+k)⇒f(x)がy軸対称は分からないですよね
何度も読み、図も書いた結果、このi(x)の例のことを言っていると思ったのですが違うのでしょうか？

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2の補足について

>f(x+k)=f(-x+k)が成立するのはf(x)がx=kで対称な場合のみではないんですか？

>その場合は必要条件しか満たしていないと思うのですが

なぜ、そう考えるのですか？

「f(x+k)=f(-x+k)」は「f(x)が直線x=kに対する軸対称である」ことの定義そのもの（の１つ）です。

「f(x)=f(2k-x)」も「f(x)が直線x=kに対する軸対称である」ことの定義の１つです。

なのでそのまま理解すべきで、軸対称の必要条件と考えること自体、適当ではありません。

質問者さんのいう必要条件は、何に対する必要条件ですか？
何か、勘違いしていませんか？

補足

f(x)を-k(k＞0)だけずらすとf(x+k)
f(-x)を-kだけずらすとf(-x+k)
f(x)がy軸対称ならば、f(x)=f(-x)だからf(x+k)=f(-x+k)
で、f(x+k)=f(-x+k)ならばf(x)がy軸対称は満たしていませんよね？