2次関数の決定

質問

１．　2次関数ｙ＝ax(2乗）＋bx＋cのグラフを、x軸方向に３、y軸方向にー２だけ平行移動した方物線は、点（５，１３）を通り、頂点の座標が（２，－５）である。このとき、定数a,b,cの値を求めよ。

２．　放物線ｙ＝－３ｘ(2乗）＋２ｘを平行移動した曲線で、2点（－２、－２０）、（３、－１５）を　通る放物線の方程式を求めよ。

上記2問が全く分からないのですが、丁寧にお答えいただけますか？

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

まず紙に適当な2次関数のグラフを描いてみてください。

その曲線を (1) とし、式で書いたときに y = f(x) とします。

次にそれを右に3だけ平行移動したグラフを描いてみてください。

その曲線を (2) とし、式で y = g(x) とします。

どこでもよいある x に対する g(x) の値は、x-3 での曲線(1)の値になっていることがグラフから分かると思います。

ということは、g(x) = f(x-3) です。

つまり何か関数があったときに、x に x-3 を代入したら、プラス 3 右に平行移動した関数になります。

y についても同様に考えます。

従って、１．の問いでは、x に x-3 を代入し、y に y-(-2) = y + 2 を代入したものが、平行移動した放物線になります。

つまり y + 2 = a (x-3)^2 + b (x-3) + c です。
この式を(3) とします。
ここで、^2 は 2乗の意味です。

式がわかったので、あとは普通に条件をあてはめて a,b,c が求まります。ただ手際によって計算の煩雑さはかなりかわりそうです。

[別解] 平行移動した曲線の通る点と頂点から、もとの曲線は、点(2,15)を通り、(-1,-3)を頂点とすることがわかります。

15=4a + 2b + c
-3=a - b + c

が成立ち、y = a (x+b/2a)^2 - b^2/4a + c と変形できるので、

頂点の座標より、- b/2a = -1 すなわち、b = 2a です。

これらの式を解いて、a,b,c が求まります。

２．平行移動のしかたを x軸方向に a、y軸方向に b とすると、

y - b = - 3 (x - a)^2 + 2 (x-a)

という式になります。これが (-2,-20), (3,-15) を通るので、

-20 - b = - 3 (- 2 - a)^2 + 2 (-2 - a)
-15 - b = - 3 (3 - a)^2 + 2 (3 - a)

bを消去して、a の二次方程式が得られるので、解いて a が求まります。

それをどちらかの式に代入して、b が直ちに求まります。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

返しが良かったので１．のヒントらしきものを

「点（５，１３）を通り、頂点の座標が（２，－５）である」２次関数を求めることは容易い。

これを x 軸方向に -3、y 軸方向に +2 だけ「逆に」並行移動せよ。

お礼

全くわからなかったので助かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

>丁寧にお答えいただけますか？
謹んで辞退させていただきます。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。