２次関数と似ているグラフについて

質問

数学の２次関数のグラフに興味を持った高校生です。
表現しずらい部分がありますが、お答えいただければ幸いです。

通常の２次関数は
y=ax^2+bx+c
であらわされ、
上に凸、もしくは下に凸で、軸はy軸に平行になっています。

そこで、右に凸、左に凸で、軸がx軸に平行になっている関数はどのようにあらわすのでしょうか？
x=ay^2+by+c
と自分では考えました。あっておりますか？

また、上下左右に凸という表現ができず、軸がx軸,y軸,にも平行でない関数、すなわち通常の２次関数が傾いたような感じで、軸が１次方程式などである関数はどのような方程式になるのでしょうか？
いろいろ考えましたが答えはだせませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

＞x=ay^2+by+c
正しいです。

＞すなわち通常の２次関数が傾いたような感じで、軸が１次方程式などである関数はどのような方程式になるのでしょうか？
x軸の正の方向に対して軸がθ傾いた放物線の方程式は、
v=au^2+bu+c
の形になります。ただし、v=(cosθ)x+(sinθ)y,u=(sinθ)x-(cosθ)yです。(代入するのは面倒なので、ご自分で^^;)

(なお、v=(cosθ)x+(sinθ)y,u=(sinθ)x-(cosθ)yは、座標軸の回転に相当します。図がかけないので、説明しにくいのですが。。。)

代入してみれば分かると思いますが、
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ex+F=0
の形になっているのが分かると思います。この形のものは、「２次曲線」と呼ばれていて、楕円・放物線・双曲線のいずれかを表しています。

補足

方程式を教えて頂きありがとうございます。
代入するとExじゃなくてEyですよね？

a,b,c,θ、そしてxを定めるとyの２次関数になりますから、簡単な例ですが
x=sのときはy=t,u
という感じで２点(s,t)(s,u)の座標がわかるってことなんでしょうか？

勝手な解釈ですいません。

回答No.8

sak_sak

#5です。
今の高2生から新しい教育課程になりましたが、行列が元に戻ったので(私が勉強した頃と似ているので)、
一次変換は多分やると思います。
私が高校生の頃に、ご質問にあったような問題はやりましたから、
たぶん進学校の理系の生徒は勉強すると思います。

他の方が「関数でない」と言っている件ですが、
左に凸な放物線 x=y^2で考えてみましょう。
これは y=±√x とも書けます。
たとえばx=4なら、y=1でもありy=-1でもあります。
このように、xが1つでもyが2つになることもあるわけです。
したがって、EXCELで書くのは難しいです。

回答No.7

springside

例えば、放物線y=x^2を原点を中心として45°回転させた放物線の方程式は、
　x^2+2xy+y^2+(√2)x-(√2)y=0
となります。
敢えて途中過程は書きませんので、どうしてこうなるかは、「一次変換」について記述されている高校数学の教科書か参考書（チャート式など）などで勉強されるといいと思います。

大学に入ると、理系であれば１年生のうちに、「線形代数」という講義の中でこの辺のことを勉強することになるはずです。そこで、２次曲線（円・楕円、双曲線、放物線）を全般的かつ体系的に学びます。

回答No.6

eatern27

#2です。

＞代入するとExじゃなくてEyですよね？
そうです。正しくは、
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
です。失礼しました。

＞a,b,c,θ、そしてxを定めるとyの２次関数になりますから、簡単な例ですが
＞x=sのときはy=t,u
＞という感じで２点(s,t)(s,u)の座標がわかるってことなんでしょうか？

他の方も仰っていますが、「軸が傾いた放物線」は普通の意味での「関数」ではありませんので、正確な言葉遣いではありませんが、
仰るようなある固定されたxに対して、yが２つ対応する「関数(のお化け)」のようなイメージで問題ないでしょう。ただ、必ず、２つのｙが対応するわけではなく、１つの場合、０個の場合もあります。
(普通の２次関数でも、放物線と直線が接する場合(交点は１つ)、交わらない場合がありましたよね)

補足

すいません。関数って使ってしまいました。
２次曲線と言えば正確でしょうか？

常に２つの解ではないということですね。
わかりました。ありがとうございます。
今日は時間がないので明日エクセルでグラフを作って考察してみたいと思います。

回答No.5

sak_sak

そこまで思考力をお持ちの方なら、すぐに答えを言っても面白くないかもしれないですね。
「行列」と書いてある数学の本を探して勉強してください。
そして「一次変換」と書いてある辺りまで勉強すれば疑問は解決するでしょう。
高校の勉強の予習にもなります。

念のために言っておきますが「行列のできる○○店」みたいな本ではだめです。

お礼

行列の１次変換ですか？
わかりました。近々書店に行って立ち読みしてみたいと思います。

回答No.4

ojisan7

何年生ですか？自分で考えて偉いと思います。関数ではないですが、

>右に凸、左に凸で、軸がx軸に平行になっている『グラフ』はどのようにあらわすのでしょうか？
x=ay^2+by+c
と自分では考えました。あっておりますか？

あっています。

お礼

高校３年生です。
ただ私は工業高校在籍なので、数学3Cはやりません。
進学校では履修する範囲なんでしょうか？
大学にいくので、進学校との学力の差が心配です。

回答No.3

docota

y=√axとy=－√axを組み合わせるか
y=√－axとy=－√－axを組み合わせると
yamato39さんが言ったような図形ができます。
これは無理関数と言い、数IIIの範囲になります。

補足

いまエクセルで表だしてみました。

たしかに
x=ay^2+by+c
の形になりそうですが。

ただ複素数になった場合はグラフに出力できなかったので、
y=√axとy=－√ax
と
y=√－axとy=－√－ax
を用いた場合の違いを教えてください

回答No.1

inayou

・・・・
関数とは、ある値に対し、ただ一つの値が求まるものです。

よって、右に凸、左に凸で、軸がx軸に平行になっているものは関数ではありません。もちろん軸がx軸,y軸,にも平行でないものも関数ではありません。

お礼

関数の定義を間違えていました。
指摘して頂いてありがとうございます。