体Ｋ上のベクトル空間Ｖの部分集合Ｗについて

質問

体Ｋ上のベクトル空間Ｖの部分集合Ｗについて

Ｖの部分集合Ｗ（≠Φ）が二つの条件
（ａ）　Ｗ＋Ｗ⊂Ｗ．
（ｂ）　任意の λ∈Ｋ につき λＷ⊂Ｗ．
を満足すれば、Ｗは「線形演算について閉じている」という。

（ａ）,（ｂ）を満たすＷはＶの部分空間をなす。　となっています。

そこで質問です。
（ａ）が成り立てば、Ｗ＋Ｗ＝Ｗ となるのは何故でしょうか。
また、
（ｂ）が成り立つとき、λ≠０ならば λＷ＝Ｗ となるのは何故でしょうか。　

学び初めの者です。よろしくお願い致します。

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

Ｗは「線形演算について閉じている」という話では
>（ａ）が成り立てば、Ｗ＋Ｗ＝Ｗ となるのは何故でしょうか。
>（ｂ）が成り立つとき、λ≠０ならば λＷ＝Ｗ となるのは何故でしょうか。　
これらは主張されていませんね。
上は、反例があります。ＶをＲ（実数体Ｒ上の1次元ベクトル空間）としてＷを正の整数の集合とすると、Ｗ＋Ｗ⊂Ｗは言えますが、１はＷ＋Ｗに含まれません。
下は、1/λを考えれば逆の包含関係が言えるので成り立つでしょう。

お礼

（ａ）の場合は、確かに反例のように、１＜２ ですから
１はＷ＋Ｗに含まれないですね。よく分かりました。

（ｂ）の場合は、任意のｘ∈Ｗにたいして、ｘ＝１ｘ＝λ（１／λ）ｘ∈λＷ
で、Ｗ⊂λＷ となるのだと思いました。

どうも、ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

>（ａ）が成り立てば、Ｗ＋Ｗ＝Ｗ となるのは何故でしょうか。

(b)は仮定しないのですか？

補足

はい、（ｂ）は仮定せず、（ａ）が成り立つだけで、Ｗ＋Ｗ＝Ｗとなるものなのかどうか、困っています。