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体K上のベクトル空間Vの部分集合Wについて

体K上のベクトル空間Vの部分集合Wについて Vの部分集合W(≠Φ)が二つの条件 (a) W+W⊂W. (b) 任意の λ∈K につき λW⊂W. を満足すれば、Wは「線形演算について閉じている」という。 (a),(b)を満たすWはVの部分空間をなす。 となっています。 そこで質問です。 (a)が成り立てば、W+W=W となるのは何故でしょうか。 また、 (b)が成り立つとき、λ≠0ならば λW=W となるのは何故でしょうか。  学び初めの者です。よろしくお願い致します。

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  • ベストアンサー
  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)
回答No.2

Wは「線形演算について閉じている」という話では >(a)が成り立てば、W+W=W となるのは何故でしょうか。 >(b)が成り立つとき、λ≠0ならば λW=W となるのは何故でしょうか。  これらは主張されていませんね。 上は、反例があります。VをR(実数体R上の1次元ベクトル空間)としてWを正の整数の集合とすると、W+W⊂Wは言えますが、1はW+Wに含まれません。 下は、1/λを考えれば逆の包含関係が言えるので成り立つでしょう。

mtudent
質問者

お礼

(a)の場合は、確かに反例のように、1<2 ですから 1はW+Wに含まれないですね。よく分かりました。 (b)の場合は、任意のx∈Wにたいして、x=1x=λ(1/λ)x∈λW で、W⊂λW となるのだと思いました。 どうも、ありがとうございます。

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その他の回答 (1)

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.1

>(a)が成り立てば、W+W=W となるのは何故でしょうか。 (b)は仮定しないのですか?

mtudent
質問者

補足

はい、(b)は仮定せず、(a)が成り立つだけで、W+W=Wとなるものなのかどうか、困っています。

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