ベクトル空間における「体積」について教えてください。

質問

ベクトル空間における「体積」について教えてください。

Rを実数体とし、Vをn次元Rベクトル空間とする。

正定値かつ対称な双線形形式< , >：V×V→Rが存在するとする。

このとき、n個の一次独立なベクトルv_1,・・・,v_nで張られる集合Aを考える。

A＝{r_1v_1+・・・+r_nv_n|r_i∈R 0≦r_i＜1}

Aの体積V(A)を、V(A)：＝|det(<v_i,v_j>)|^(1/2)と定義する。

では、Vの任意の部分集合Aに対しては、どのようにして体積を定義するのですか？

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

←No.4 補足
言いだしっぺが何を言ってんだか。
A の定義をちゃんと読むと、v1 … vn が一次独立であれば、
v1 … vn の取り方は、最初のモノの添え字を入れ替える以外には無い
ことは自明。

補足

すいません、御指摘ありがとうございます。

Aのような、一次独立なベクトルで定義される集合に対しては、
体積が定義できましたが、一般の集合に対しても体積を定義するためには、
どのように測度を構成するのですか？

回答No.4

alice_44

集合 A に対して、
v_1 … v_n の添え字はユニークに決まらないけれど、
集合 { v_1 … v_n } はユニークに決まっている。

det の反対称性と、絶対値が付いてることから、
v_1 … v_n の添え字の入れ替えで、V(A) の値は変わらない。
よって、well-defined。 ほぼ自明では？

補足

みなさん回答ありがとうございます。
{v_1,・・・,v_n}という一次独立なベクトルのを用いて定義された集合Ａが、
別の一次独立なベクトル{v'_1,・・・,v'_n}(≠{v_1,・・・,v_n})を用いて、

A＝{r_1v_1+・・・+r_nv_n|r_i∈R 0≦r_i＜1}
＝{r_1v'_1+・・・+r_nv'_n|r_i∈R 0≦r_i＜1}

と表わされるときは、考えなくても良いのでしょうか？

この場合、|det(<v_i,v_j>)|^(1/2)＝|det(<v'_i,v'_j>)|^(1/2)を示さないといけないのですよね。

回答No.3

koko_u_u

集合 A に対して v_1 ... v_n はユニークに決まるわけではないので、体積 V(A) が
well-defined かどうかは自明ではないと思いますよ。

その後 V(A) が「体積っぽい」性質をいくつか有していることを示して、やっと一般の場合を考察できるのかな？

回答No.2

alice_44

いんじゃない？
v_i を列として並べた行列を M と置いて、
V(A) = √｜det( (Mの転置)M )｜ = ｜det M｜
だから、
＜,＞ を内積とする計量空間の体積として
問題は無さそう。
矩形以外の体積も定義しようとなると、
線型代数の範囲では無理で、測度論が要るけれど。

回答No.1

koko_u_u

V(A)が「体積」であることはよいのですか ？