外積を使って四面体の体積を求める

質問

空間上の４点が与えられている時、外積を使ってその４点を頂点とする四面体の体積を求めるにはどうしたらいいのでしょうか？？
教えてください。
教科書には４つのベクトルをp,q,r,s,とすると求める体積は
1/6|det(q-p,r-p,s-p)|で与えられるとしか書いてなくて,どうしてこうなるのかわかりませんでした。

回答No.2

noname#66248 · ベストアンサー

(q-p)×(r-p)　は、ベクトル　(q-p)　と　(r-p)　を含む平面に直交する
一つのベクトルです。大きさは、既に述べたように二つのベクトルの
作る平行四辺形の面積です。
今このベクトルを、この方向に向かう単位ベクトルを　e　として、
(q-p)×(r-p)=e・|(q-p)×(r-p)|　と表わされるとします。

求めるべき立体の体積は、(1/3)・（底面）×（底面に直交する高さ）　で、
（底面）の大きさは、(1/2)・|(q-p)×(r-p)|　であり、
（底面に直交する高さ）は、残る一つのベクトル　s-p　の底面に直交する
方向、つまり　e　方向の成分で、(s-p)・e　です。

従って、
求めるべき立体の体積＝(1/3)・（底面）×（底面に直交する高さ）
＝(1/3)・(1/2)・{|(q-p)×(r-p)|・e}・[{e・(s-p)}・e]　であり、
言い換えれば、ベクトル　(q-p)×(r-p)　と　ベクトル　s-p　の内積
を　(1/6)　倍したもので表わされます。

ベクトルの掛け算の絶対値、|{(q-p)×(r-p)}・(s-p)|　は
|det(q-p、r-p、s-p)|　で表わされるので、教科書に示されているとおり
(1/6)・|det(q-p、r-p、s-p)|　となるのです。

お礼

理解できました！！
本当にありがとうございます！！

回答No.1

noname#66248

４つの座標ベクトルを　p、q、r、s　とし、ベクトル　p　が
原点にくるよう、全てのベクトルに　-p　を加える。

するとベクトルは、0、q-p、r-p、s-p　となる。
ベクトル　q-p　と　ベクトル　r-p　の外積　(q-p)×(r-p)は、
大きさがこれら二つのベクトルの作る平行四辺形の面積に等しく、
方向は、これら二つのベクトルに直交する方に向いている。

ベクトルの先端の4点（内一つは原点にあるが）の作る立体の体積は
ベクトル　s-p　と　(q-p)×(r-p)　の内積で表わすと
(1/3)・(1/2)・|det(q-p,r-p,s-p)|
=(1/6)|det(q-p,r-p,s-p)|

補足

回答ありがとうございます。
誠に申し訳ないのですが、下３行目からが僕の学力不足なのかよくわかりません。
詳しく説明していただけると嬉しいです。