「空間ベクトル」の問題です。

質問

３次元空間内の２点 ベクトルa、ベクトルb と原点の３点を頂点とする三角形の外心 ベクトルp を
ベクトル a, b と内積・、外積×などを用いて　ベクトルp=a×b×(a,b の式） の形で表せ。

ヒント： ベクトルp=αa＋βb とし、点ベクトルp が点ベクトルa、b、原点から等距離にあることを用いよ。

教えて下さい：ヒントからベクトルの内積のみを用いた解は得られました（正解でした）が、外積を用いなければ不可との事でした。どうしても、外積を使う方法が解りません。どうかお教え下さい。

回答No.3

Mr_Holland

ANo.1です。
＞ベクトルp=a×b×(a,b の式） の形で表せ。

　ごめんなさい。問題をよく見ていませんでした。
　とにかくこの形にするならANo.2さんの解法の方がいいと思いますが、ヒントを使うと次のようになると思います。

　とりあえず、α,βを内積など可として、求めると次のようになります。

　　α=|b|^2{|a|^2-(a・b)}/{2|a×b|^2}
　　β=|a|^2{|b|^2-(a・b)}/{2|a×b|^2}
　∴p=1/{2|a×b|^2} [ |b|^2{|a|^2-(a・b)}a + |a|^2{|b|^2-(a・b)}b ]　　・・・・☆

　さて、ANo.2さんも使われていましたが、ベクトル三重積の関係　A×(B×C)=(C・A)B-(A・B)C　から、次のベクトル三重積の式が得られます。
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/Triprod/

　　a×b×a=|a|^2 b-(a・b)a
　　a×b×b=(a・b)b-|b|^2 a

　この2つの式を連立して　a,b について解いて　ベクトル三重積で表します。

　　a=a×b/|a×b|^2 ×{(a・b)a-|a|^2 b}
　　b=a×b/|a×b|^2 ×{|b|^2 a-(a・b)b}

　この2つの式を式☆に代入して　(|a||b|)^2-(a・b)^2=|a×b|^2 を利用して整理しますと、次のように　a×b×(a,b の式） の形で表せます。

　∴　p=a×b×{|b|^2 a-|a|^2 b}/{2|a×b|^2}

回答No.2

momordica

３次元空間内のベクトルa, b, cについて、
　(a×b)×c=(a・c)b-(b・c)a
が成り立ちますから、

p=(a×b)×(sa+tb)　(s, t はスカラー) とおくと
　p=(a・(sa+tb))b-(b・(sa+tb))a
　　=(s|a|^2+ta・b)b-(sa・b+t|b|^2)a

ここで、|p|=|p-a|より
　|p|^2-|p-a|^2
　　=|p|^2-(|p|^2-2p・a+|a|^2)
　　=2p・a-|a|^2
　　=2((s|a|^2+ta・b)b-(sa・b+t|b|^2)a)・a-|a|^2
　　=2(s|a|^2+ta・b)a・b-2(sa・b+t|b|^2)|a|^2-|a|^2
　　=2((a・b)^2-|a|^2|b|^2)t-|a|^2
　　=-(2|a×b|^2)t-|a|^2
　　=0
∴ t=-|a|^2/2|a×b|^2

同様に
　|p|^2-|p-b|^2
　　=2((s|a|^2+ta・b)b-(sa・b+t|b|^2)a)・b-|b|^2
　　=2(|a|^2|b|^2-(a・b)^2)s-|b|^2
　　=(2|a×b|^2)s-|b|^2
　　=0
∴ s=|b|^2/2|a×b|^2

よって
　p=a×b×((|b|^2 a-|a|^2 b)/2|a×b|^2)

こんな感じでどうでしょう。せっかくの「ヒント」を全く使ってませんけど…

回答No.1

Mr_Holland

見づらくなるので　「ベクトル」という語は省略して書きますね。
　α、βを求めると分母に　(|a||b|)^2-(a・b)^2　という因数ができると思いますが、これが外積　(a×b)^2 になっています。

　このことは　aとbのなす角をθとすると　外積は　|a||b|sinθ となることから示されます。

　　(|a||b|)^2-(a・b)^2
= |a|^2|b|^2-|a|^2|b|^2(cosθ)^2
= |a|^2|b|^2{1-(cosθ)^2}
= |a|^2|b|^2(sinθ)^2
= (a×b)^2