• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

ベクトル空間 次元 について

前回質問(数ベクトル空間 ベクトル空間)させて頂いた内容です。 http://okwave.jp/qa/q8631000.html#answer 前回の質問内容を整理してわからなかった点を再度質問させて頂きます。 ベクトル空間の次元についてですが、以下のように理解しました。 Vはベクトル空間であるとします。 x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 と理解しました。 R^2は2次元ベクトル空間 R^3は3次元ベクトル空間 R^nはn次元ベクトル空間 という説明がウェブ上で多々ありますが、 これは、ベクトル空間の「成分の数(項数)」であって次元とは関係 ないと理解しました。 ここまでで間違いありますでしょうか? 間違いがあればご指摘よろしくお願い致します。 *****以下、質問内容***** x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 ですが、 (1)、(2)、(3)はいずれもR^3の部分空間とのことなのですが、この点がよくわかりません・・・ 私のイメージなのですが、 (1)⊂(2)⊂(3)のイメージがあるのですが、これは大きな間違いでしょうか? 3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間 と言ったイメージなのですが・・・ R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、 次元とは無関係ですよね? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • RY0U
  • お礼率40% (434/1065)

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数257
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4

なんというか,なにをどう考えたら こういう解釈にいたるのか疑問でしかない・・・ >Vはベクトル空間であるとします。 >x,y,z∈Vについて、 >(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 >(2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 >(3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 >と理解しました。 どれも間違え.Vから三つのベクトルを選択して それらが0かどうかだけでVの次元なんかは判断できません. 例:V=R^3 x=0 y=(1,1,1), z=(2,2,2) (2)によるとVは二次元,実際はVは3次元 >R^2は2次元ベクトル空間 >R^3は3次元ベクトル空間 >R^nはn次元ベクトル空間 >という説明がウェブ上で多々ありますが、 >これは、ベクトル空間の「成分の数(項数)」であって次元とは関係 >ないと理解しました。 まったくの間違え.関係ないどころか, 一番素朴な,おそらくベクトル空間の理論の一番最初の次元の定義は この成分の個数を次元というものだったのでしょう といっても批判はうけないでしょう. ひとまず・・・ 「ベクトル空間の定義」 「ベクトル空間の部分空間の定義」 「ベクトルの一次独立・一次従属の定義」 「ベクトル空間の基底の定義」 「ベクトル空間の次元の定義」 ここらあたりを,順番にきちんと言葉と式で理解しましょう. そうでなければ次元なんてものは理解できません. 順番を無視して次元だけ理解するなんてことはできません >3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間 >と言ったイメージなのですが・・・ 結果としては正しいですが,そこへの道筋は 質問の文章からしてきっと間違えています. >R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、 >次元とは無関係ですよね? R^3の部分空間の定義そのものは直接は次元とは無関係ですが, きとんと考えれば,次元との関係はでてきます.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 「ベクトル空間の定義」 「ベクトル空間の部分空間の定義」 「ベクトルの一次独立・一次従属の定義」 「ベクトル空間の基底の定義」 「ベクトル空間の次元の定義」 を順を追ってもう一度勉強します。

関連するQ&A

  • 数ベクトル空間 ベクトル空間

    数ベクトル空間について教えて下さい。 ベクトル空間の章で数ベクトル空間という言葉がかなり多く 用いられます。数ベクトル空間がどのようなものかよく分かりません・・・ 数ベクトル空間の定義 K上の数ベクトル空間Vとは、 数の組をベクトル空間として扱ったもので、 V:={(a1・・・an)|a1,・・・,an∈K} と定義される。 ここで質問なのですが、数ベクトル空間は具体的にどのよう なものでしょうか? また、数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか? 数ベクトル空間でないベクトル空間 ってどのようなものがあるのでしょうか? 数ベクトル空間の例とベクトル空間の例を具体的に示して頂けない でしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • Vを有限次元実ベクトル空間とし、W、W’をVの部分

    Vを有限次元実ベクトル空間とし、W、W’をVの部分空間とし、商ベクトル空間V/WとV/W’に対し、自然な写像p:V→V/Wとq:V→V/W'を考える。 W’⊂Wのとき、実ベクトル空間としての同型(V/W’)/(W/W’)≒V/Wが成り立つことを示せ。 この問題の解き方がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。

  • v1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R

    v1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R3の2次元部分空間の正規直交基底を求めよ。 という問題なのですが、「Rnのm次元部分空間」(ここでは、R3の2次元部分空間)はどのようにもとめればいいのでしょうか。また、問題の詳細な解き方を教えてください。 よろしくお願いします。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

>R^2は2次元ベクトル空間 >これは、 >ベクトル空間の「成分の数(項数)」であって次元とは関係 ベクトル空間の成分の数というのはいいたいことはわかりますが変。 また、2次元ベクトル空間の2次元は、ベクトル空間の次元でしょう。 {(x, y, z)| x + y + z = 0} というベクトル空間はベクトルの 成分は3個になっているけど、ベクトル空間の次元は2です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

>(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 意味不明です。 x, y, z はスカラーで {(x, y, z)|x∈R、y=0,z=0} じゃないですか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

「間違い」以前に「何をどう考えたらそこにたどり着くのか」がさっぱり分からない. そもそも 「x,y,z∈Vについて、~と理解しました。」 と書いている割に「x, y, z の選び方」について一言も触れないのはなぜ?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • ベクトル空間の問題

    問題自体をそのまま書きます 3次正方行列Aの階数が2であるという。行列Aの第1列、第2列、第3列をそれぞれa1,a2,a3とするとき、以下の量がそれぞれいくつかを答えなさい。ただしR^3は成分がすべて実数である3次元列ベクトル全体の集合を表し、行列Aの成分はすべて実数とする。 (1)a1,a2,a3の中で線形独立(1次独立)なものの最大数 (2)R^3の部分空間{u1a1+u2a2+u3a3|u1,u2,u3はすべて実数}の次元 (3)R^3の部分空間{x∈R^3|Ax=0}の次元 という問題なのですが、1番は分かるのですが、2番以降の{}の中身の読み方が分からず、どのように考えて良いかがさっぱり分かりません。 何かヒントをいただけませんか? 後これは数学の中で線形台数の範囲になると思うのですが、こういうことに関して理解していくのによい参考書またはHPを教えていただけるとうれしく思います。

  • 次元っていくつまであるの?何が増えるのですか?

    1次元は点。2次元では縦と横。。3次元では『高さ』が増える。4次元では『空間』が増える‥‥ と、一つ次元が多くなるにつれ、『高さ』が増えたり『空間』が増えたりしますが、次元って、大体何次元まであるのでしょうか? 次元が多くなるたび、何が増えてくるのでしょうか? 気になります。教えてください。 

  • ベクトル空間

    a = (2,2,3) b = (2,0,-4) c = (1,-2,1) でベクトルaが生成する1次元ベクトル空間を考え この空間へ上記ベクトルbを射影したベクトルb'を求めよ。 この問題での「ベクトルaが生成する1次元ベクトル空間」とはどういうことですか? 空間ベクトルあたりがいまいちピンとこないので、教えてくださると助かります。

  • 射影空間の定義について

    射影幾何のついて学び始めたのですが、抽象的なためか定義の理解に苦しんでいます。 「複素ベクトル空間Vの射影化P(V)とは、V\0の同値関係~による商である。」とあり、直後の問題で、「このP(V)とVの1次線形部分空間の集合と自然な1体1対応があること示せ。」とあります。私としては、n次元ベクトル空間Vに対する1次元部分ベクトル空間との1体1対応、かと思っていたのですが、違う本を参照してみると、 「Def.ベクトル空間Vの1次元線型部分空間をP(V)とかき、射影空間と呼ぶ。Vがn+1ならばP(V)はn次元であるという。」と、ありました。 質問は次です。 Q,下の定義において、1次元線形部分空間なのに、なぜn次元の話になるのか。 この時、上の問題の回答は、 (x0,x1,…,xn)→(x1/x0,…,xn/x0) と対応付ければ終わりでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 線形代数の次元について

    線形代数学の問題です。 数ベクトル空間V=R^4の部分空間W1,W2を W1={t(x,y,z,ω)∈R^4 ; 2x+y+3z+7ω=0,5x-2y+5z+9ω=0} W2={t(x,y,z,ω)∈R^4 ; -x+y+2z+6ω=0,4x-4y+2z+ ω=0} と定めるとき (1)W1,W2の次元をそれぞれ求めよ (2)部分空間W1∩W2の次元を求めよ (3)部分空間W1+W2={ω1+ω2 ; ω1∈W1,ω2∈W2}の次元を求めよ (1)(2)(3)それぞれ理由も記すこと (1)はW1の次元が2、W2の次元が1となったのですが確信がありません よろしくお願いします。

  • ベクトル空間:次元

    (問題)京大 Fを体とし、Fの元からなる列{An}n=1 to ∞でAn+2=An+1 + An (n Vは項別の和とスカラー場でF上のベクトル空間とみなす。VのF上の次元を求めよ。 という問題ですが次の回答 (解き方) F上のベクトル空間はOKです。0ベクトルは(0,0,0、-----------)  ひとつのベクトルとして、(1)a≠0、(0,a,a、a、-------) (2)もうひとつはa≠0,(a,b、a+b,a+2b、2a+3b、3a+5b、---------)から各項をaで割った(1,b/a、1+b/a,1+2b/a、2+3b/a、3+5b/a、---------)は、(1)と独立なベクトルでb/aをcとおけば(1,c、1+c,1+2c、2+3c、3+5c、---------)となり、(1)以外のベクトルはこう表現できるので、2次元である。Fが実数の場合はこれでいいのかと思いますが一般の体Fではどうすべきでしょうか。

  • ベクトルが3次元実ベクトル空間を動くとき

    以下の行列Aについて、すべての問いに答えなさい。   |1 4 0 | A = |1 0 2 |   |0 2 -2 | (1) 行列Aの固有値を求めなさい。 (2) 行列Aの各列をベクトルa1,a2,a3で以下のように表す。    A=(a1,a2,a3) これらの3個のベクトルの従属関係を式で示しなさい。 (3) ベクトルxが3次元実ベクトル空間(線型空間)V全体を動くとき、これによってつくられる点の集合を    W1={Ax|x∈V} とする。この集合がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。 (4) ベクトルpをp=t(1,2,1)とする。ベクトルxがx・p=0となるような3次元実ベクトル空間Vを動くとき、xがどのような図形を描くか答えなさい。なお、t()は転置を表し、x・pはxとpの内積を表す。 (5) (4)のようにxが動くとき、集合    W2={Ax|x∈V,x・a=0} がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。 という問題があるのですが、 (1):λ1=3, λ2=0, λ3=-3 (2):略 (1),(2)は合ってる自信があります。 (3)   |1 4 0 |   |1 4 0 | A = |1 0 2 | = |0 -4 2 |   |0 2 -2 |   |0 0 0 | これはrank=2となり、xをかけてもrankは変わらないので、 次元は2 (3)は次元は合ってる気がするのですが、答え方が間違ってるような気がします。 (4),(5)の解き方が分かりません。 (4)はx・p=0なので直交することは分かるのですが、これをどう使うかが分かりません。 (5)は(4)が解けないと解けないのですが、(4)が解けたとしてもaというよく分からないの出てきてて、解けなくなってしまいそうです。 どなたか(3),(4),(5)を解いて下さる方いらっしゃいませんか?

  • 部分空間の次元

    以下のベクトルについて問いに答えなさい。tは転置を表す。 a1=t(1,1,0), a2=t(0,-2,2λ), a3=t(λ,λ+1,-1), a4=t(2,3,1-2λ) 問:これらのベクトルによって生成される3次元実数空間R3の部分空間の次元が2になるようにλの値を決めなさい。 という問題があるのですが、これを行列にして計算していくと、 |1 0  λ   2  | |0 -2  1   1  | |0 0 -1+λ 1-λ| というようになるのですが、ここからどうすればいいのでしょうか? 次元は線形独立なベクトルの最大個数らしいのですが、ここまで導くことができません。 どなたかこの問題解ける方いらっしゃいますか?

  • 感情の次元

    こんばんわ 1次元から3次元は、以下のことで分けられています。 1次元は数直線・時間 2次元は画像、絵画、図面、地図 3次元は3次元物理空間。 4次元はこの宇宙は、3次元(物理)空間と1次元時間からなる4次元時空(ミンコフスキー時空) wikipediaより。 では、感情は何次元だと思いますか? できれば「○次元」だと思った理由もお願いします。

  • ベクトル空間の問題が解けなくて困っています。

    ベクトル空間の問題でW1,W2がR^nの部分空間のとき、W1∩W2もR^nの部分空間になることを証明することです。 すごく困っています。どうか教えてください。お願いします。