4次元空間問題

質問

4次元ベクトル空間(変数はxyzu)
x+y+z+u=1
において、
この式を満たす空間上にあり、この空間と直交し、お互いに直交する3つのベクトル空間を求めて下さい。

回答No.3

alice_44

「この式を満たす空間上にあり、この空間の法線ベクトルと直交し、
お互いに直交する3つのベクトル(ベクトル空間ではなく)」
を、求めたいんですね？
「この式を満たす空間上にあり」と「この空間の法線ベクトルと直交し」
は、同じことの言い換えに過ぎませんが。

x+y+z+w=1 に直交するベクトル (1,1,1,1) を含むような
4次元空間の基底をひと組挙げることができますか？
後は、シュミットの直交化でもすればよいでしょう。

参考↓
http://tau.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2005.linear-algebra-II/html.dir/node66.html

補足

(1,1,1,1)に直交して、互いに直交する3つのベクトルは、例えば、
(1,-1,1,-1)
(1,0,-1,0)
(0,1,0,-1) で大丈夫ですか?

回答No.2

Tacosan

えぇと.... その「3次元の問題」をそのまま 4次元にもちあげてもこの質問の問題にはならんのだけど.... 「法線ベクトルに直交する」ことと「空間に直交する」こととの違いは理解できますか?

ちなみに 3次元のときに x+y+z = 1 は内積を使って (1, 1, 1) ・ (x, y, z) = 1 と書けることはいいよね. で, この平面の法線ベクトルはいくつですか?

補足

考え直しました。
4次元空間でのある1点を
(xo,yo,zo,uo)とします。
任意の点(x,y,z,u)を通り、ベクトル(a,b,c,d)と直交する条件は、
内積が0だから、
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)+d(u-uo)=0
ax+by+cz+du=axo+byo+czo+duo
だから、
一般に
ax+by+cz+du=f
という空間に直交するベクトルは、(a,b,c,d)の1本の直線ですよね。
この直線に直交するベクトルは、4次元空間だから、3つ必ずあるはずです。
その求め方を知りたいのです。

回答No.1

Tacosan

確認です:
・「ベクトル空間」を, どのように定義していますか?
・2つの空間が「直交する」とは, どういうことですか?

補足

実は、3次元空間の問題で
平面x+y+z=1に直交し、この平面上にあるお互いに直交する直線の式を求めよ。
という問題があり、それを4次元に拡張するとどうなるだろうと思い、自作の問題です。
3次元空間では、
平面の法線ベクトルは、(1,1,1)
それに垂直でお互いに直交するベクトルは、例えば、(-1,-1,2),(-1,1,0)となります。
これが、x+y+z=1上にあるので、
x=-t
y=-t
z=2t+1
よって、
-x=-y=(z-1)/2

と
x=t
y=-t
z=1

よって、
x=-y
z=1

となると思います。

４次元空間に拡張するとどうなるのでしょうか？
x+y+z+u=1は、4次元空間上での立体(3次元)を表すのでしょうか?
この立体に垂直なベクトル空間は、面(2次元)なのでしょうか?
4次元空間では、互いに直交する直線は、4つあると思いますが、
そもそも、この立体？(x+y+z+u=1)と直交する直線(1次元)のベクトルは、存在するのでしょうか?
この疑問にも答えていただけますか?