４次元空間について

質問

４次元空間に半径１、原点中心の超球（x^2+y^2+z^2+w^2=1）があります。これを、４次元における平面（例えばa*x+b*y+c*z+d*w=eといった平面）で切り取った切片、つまりこの平面と超球の共通部分はおそらく３つの変数で表せると思うのですが、その切片を３次元空間で表すとどんな図形になるのでしょうか？
考えているのですがイマイチつかめません。
どなたかお力添えをおねがいします。

回答No.4

pancho · ベストアンサー

ついでの補足です。

＃２の補足の中で、解が楕円体になりそうだと書かれていますが、これは質問の方程式を解く過程で、「ｘ＾２」と「ｙ＾２」「ｚ＾２」に掛かる係数が一致していないからと想像されます。
両方程式から「ｗ」を消去すると、
(1-a^2/d^2)x^2 + (1-b^2/d^2)y^2 + (1-c^2/d^2)z^2 + ..... = 0
となりますね。

これが３次元空間における球面の方程式
x^2 + y^2 + z^2 = 一定
に一致しないので楕円体ではないかと疑っているのではないでしょうか？

これは、解となる図形を３次元空間に投影したものを表わす式でしかないからです。同じことを３次元の球と平面で考えてみてください。
(1-a^2/c^2)x^2 + (1-b^2/c^2)y^2 + ..... = 0
で、やはり「ｘ＾２」と「ｙ＾２」に掛かる係数は一致しません。これは、解となる正円をｘｙ平面に投影した図形の方程式になるからです。

同じように、ご質問の２つの方程式からｗを消去しただけの解（？）は、３次元への投影に過ぎませんので、ご注意ください。
もっとも、４次元空間上に浮かぶ３次元（？）の球を、あくまで３次元空間上で観察することを考えているのなら、楕円体というのも間違えでは有りません。３次元空間に浮かぶ２次元の円を、２次元の世界（つまり、ｘｙ平面）から見れば、やはり楕円にしか見えませんから。

以上。

お礼

回答ありがとうございます．
今必要としていたのは，切片の図形を３次元空間へ投影した物がどうなるかということでしたので，非常に勉強になりました．
大変お世話になりました．

回答No.3

pancho

物理を勉強していた者です。
物理の立場では、４次元目の軸は時間で捕らえるのが一般的ですし、数学者以外の人にもイメージしやすいので、この観点で説明します。

この解釈の場合、３次元空間に住んでいる私たちは、時間軸を移動する（時間が立つ）ことで４次元空間を擬似的に体験していると考えられます。丁度、０次元の点が線上を移動し、１次元の線が平面をなぞり、２次元の面が空間を移動する様に…。
４次元における平面の特殊な例（W=一定）が、時間（時刻）一定の私達の３次元空間です。ある瞬間の私達ですね。

そこで、私達３次元空間から４次元超球体を見たとしたらどうなるでしょう。
それは、あたかも空中に小さな球体が突然現れ急激に拡大していき、最大付近ではゆっくり大きくなり、最大値を過ぎてからはゆっくり小さくなり始め、最後は急激に小さくなって突然何も無くなる、という変化になります。
その球体の半径の変化は、丁度、３次元上で球体が平面を一定速度で横切る時の切断面の半径の変化と同じです。

イメージできますか？

結論。
ご質問の図形は、皆様のご説明の通り球面（あるいは球体）です。

回答No.2

starflora

ご自分で考えておられて、イメージが掴みにくいと云う話なので、イメージの話をします。どうして、こういうイメージあるいは図形になるかは、図形になるかの証明の式は、自分で考えてください（証明も欲しいということでしたら、それも記しますが、手間がかかりますので、簡単に述べます）。

　　まず、結果から云いますと、仰られている切片は、共通部分があれば、それは「球面」です。

　　それは、貴方が平面と思って記している式「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は、実は、四次元空間では、三次元空間になります。従って、四次元超球との共通部分があれば、それは、二次元図形になるのです。「球面」です（二次元図形とは、自由度二次元の意味です。これは四次元空間のなかの球面ですから、三次元の球面ではないのです。特定の三次元空間のなかに収まる球面ではありますが）。

　　四次元空間のなかの平面もある訳で、そういう平面が、四次元超球と共通部分があれば、その場合の切片は、「三次元の球体」です。

　　少し補足しますと（事実上、証明になりますが）。式「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は、四次元ヴェクトル（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）と（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）の内積が一定という意味です。三次元の場合、こういう特定ヴェクトルとの内積が一定のヴェクトル全体の集合は、結果的に、特定ヴェクトルと直交し、かつ、その特定ヴェクトルの先端を通る平面になります。四次元の場合は、特定の四次元ヴェクトルとの内積が一定のヴェクトルの集合体が描く図形は、特定ヴェクトルと直交する図形で、特定ヴェクトルの先端を通る図形、つまり、そのような三次元空間です。

　　四次元超球は、四次元的に任意の方向で、点対称になっています。従って、特定四次元ヴェクトル（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）は、切片の図形がどういうものかを考える時には、超球を原点を中心に任意に回転しても同じ図形でなるので、（０，０，０，ｄ）ヴェクトルとの内積で考えてよいことになります。ｄ＊ｗ＝ｅと云う式は、第四の軸Ｗ軸のｅ／ｄという点を通る（直交する）三次元空間なのです。ｅ／ｄ＝１という時、超球との切片は、「点」です。０＜＝ｅ／ｄ＜１の時、これは、図形次元二次元の球面になります。（つまり、超球の式は、「x^2+y^2+z^2+w^2=1」ですが、これにｗ＝ｅ／ｄを代入すると、x^2+y^2+z^2=1-(e/d)^2＜1 で、これは二次元図形で、かつ球面の式なのです）。

お礼

間違えて補足に再質問を書いてしまいました。ごめんなさい。

補足

申し訳ありません、超球（x^2+y^2+z^2+w^2=1）と書きましたが、実は超球体（x^2+y^2+z^2+w^2<=1）のことを言いたかったのです。
数式を解いてみたところ、どうも楕円体となりそうなのですが・・・。
（二次元図形とは～～球面ではありますが）と ありますが、４次元空間の中の球面を３次元空間上に投影した場合どのような図形になるのでしょうか？
もう一つですが、結局「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は４次元における平面（みたいなもの）ではないのでしょうか？
なかなか理解が及ばず苦しんでおります。申し訳ありません。よろしく御願いします。

回答No.1

chukanshi

例えば、話を３次元にして、
球：x^2+y^2+z^2=1を、Z=0の平面で切ったとすると、
その切り口は、
x^2+y^2=1
つまり、原点を中心とした円となります。
一般の平面で切ってもやはり切り口は円です。

同様に、話が２次元だと、
円：x^2+y^2=1を、y=0の平面（直線）で切ったとすると、
その切り口は、
x^2=1
つまり、点(1,0),(-1,0)となります。
一般の直線で切っても切り口は２点になります。

もっともな話だと思います。

では、４次元では。
超球：x^2+y^2+z^2+w^2=1を超平面w=0で切るとその
切り口は、x^2+y^2+z^2=1、すなわち３次元の球ですね。
よって、一般に４次元超球の超平面での切断面は
３次元の球になると思います。