• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

4次元空間について

4次元空間に半径1、原点中心の超球(x^2+y^2+z^2+w^2=1)があります。これを、4次元における平面(例えばa*x+b*y+c*z+d*w=eといった平面)で切り取った切片、つまりこの平面と超球の共通部分はおそらく3つの変数で表せると思うのですが、その切片を3次元空間で表すとどんな図形になるのでしょうか? 考えているのですがイマイチつかめません。 どなたかお力添えをおねがいします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数416
  • ありがとう数4

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4
  • pancho
  • ベストアンサー率35% (302/848)

ついでの補足です。 #2の補足の中で、解が楕円体になりそうだと書かれていますが、これは質問の方程式を解く過程で、「x^2」と「y^2」「z^2」に掛かる係数が一致していないからと想像されます。 両方程式から「w」を消去すると、 (1-a^2/d^2)x^2 + (1-b^2/d^2)y^2 + (1-c^2/d^2)z^2 + ..... = 0 となりますね。 これが3次元空間における球面の方程式 x^2 + y^2 + z^2 = 一定 に一致しないので楕円体ではないかと疑っているのではないでしょうか? これは、解となる図形を3次元空間に投影したものを表わす式でしかないからです。同じことを3次元の球と平面で考えてみてください。 (1-a^2/c^2)x^2 + (1-b^2/c^2)y^2 + ..... = 0 で、やはり「x^2」と「y^2」に掛かる係数は一致しません。これは、解となる正円をxy平面に投影した図形の方程式になるからです。 同じように、ご質問の2つの方程式からwを消去しただけの解(?)は、3次元への投影に過ぎませんので、ご注意ください。 もっとも、4次元空間上に浮かぶ3次元(?)の球を、あくまで3次元空間上で観察することを考えているのなら、楕円体というのも間違えでは有りません。3次元空間に浮かぶ2次元の円を、2次元の世界(つまり、xy平面)から見れば、やはり楕円にしか見えませんから。 以上。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます. 今必要としていたのは,切片の図形を3次元空間へ投影した物がどうなるかということでしたので,非常に勉強になりました. 大変お世話になりました.

関連するQ&A

  • 宇宙は外から見れば4次元空間?

    球面は平面ですが、球を外から見れば3次元であるために 球面の面積は有限だが、その表面にいる生物にとっては果てがない。 同じように宇宙が有限であると同時に果てがないためには、この宇宙が3次元空間ではあるがその外側から見れば(見ることはできないが)4次元空間であるからである。 上記は正しいでしょうか?

  • 4次元空間の超平面で、パラメータを消去するには?

    4次元のxyzw直交空間を考えます。 直線は、パラメータを用いて、 x=x[0]+a[1]s y=y[0]+b[1]s z=z[0]+c[1]s w=w[0]+d[1]s のように書けて、パラメータを消すと、 (x-x[0])/a[1]=(y-y[0])/b[1]=(z-z[0])/c[1]=(w-w[0])/d[1] のように書けます。 平面(?)は、パラメータを用いて、 x=x[0]+a[1]s+a[2]t y=y[0]+b[1]s+b[2]t z=z[0]+c[1]s+c[2]t w=w[0]+d[1]s+d[2]t のように書けますが、パラメータを消すとどうなるのでしょうか? 超平面は、パラメータを用いて、 x=x[0]+a[1]s+a[2]t+a[3]u y=y[0]+b[1]s+b[2]t+b[3]u z=z[0]+c[1]s+c[2]t+c[3]u w=w[0]+d[1]s+d[2]t+d[3]u のように書けますが、パラメータを消すとどうなるのでしょうか? おそらくAx+By+Cz+Dw+E=0のように書けるとは思いますが、それらの係数は具体的にはどのような形なのでしょうか? 3次元空間の平面の場合には、この最後の問いは、2つの3次元ベクトルの外積で表されると思うので、今回の設定を4次元にしてみました。

  • 4次元空間上での平面の式

    任意の点を(x,y,z,u)とした4次元空間で (1)3次元の立体を表す式は ax+by+cz+du=e でいいですか? (2)2次元の平面を表す式は一般にどのような形になりますか? 上記のことに疑問を持った理由。 2次元空間で1次元の直線を表す式は、一般にax+by=cとなる。 これは、2点(x,y),(xo,yo)を通り、方向ベクトルが(a',b')で媒介変数tとして x=a't+xo y=b't+yo と書くこともできる。 3次元空間で2次元の平面を表す式は、一般にax+by+cz=d となる。 これは、 平面上の2点(x,y,z)と(xo,yo,zo)を結ぶベクトルとこの平面に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c)の内積が0であるという条件より導かれる。 実際に計算すると a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo になり、ax+by+cz=dという形と同値であることが確認できる。 【別な考え】 3次元空間内の平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を P(xo,yo,zo)、Q(x1,y1,z1)、R(x2,y2,z2) とする。この平面上の任意の点X(x,y,z)は、媒介変数t,sを使って OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑ と書ける。 成分表示にするために OP↑=(xo,yo,zo) PQ↑=(a,b,c) PR↑=(a',b'c') と方向ベクトルを定義すると、 x=xo+at+a's......(1) y=yo+bt+b's......(2) z=zo+ct+c's......(3) という書き方も平面を表す式である。 実際に(1)と(2)から未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式に代入すれば、(1)(2)(3)式は、一つの式 a"x+b"y+c"z=d'という形になる。 直線を表す式は、媒介変数tを使って x=at+xo y=bt+yo z=ct+zo または、 (x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=t となる。 4次元空間で同じように、 直線や平面や立体を考えてみた。 2次元では、(1,0)と(0,1)が直交の基底ベクトル。 3次元では、(1,0,0)と(0,1,0)と(0,0,1)が直交の基底ベクトル。 したがって、 4次元では、(1,0,0,0)と(0,1,0,0)と(0,0,1,0)と(0,0,0,1)が直交の基底ベクトル。 4次元空間では、点は4つの成分で表される。 4次元空間での直線について。 直線は2点が与えられば書ける。 2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を通り、その直線の方向ベクトルが(a,b,c,d)だとしたら、媒介変数tを使って、 x=at+xo y=bt+yo z=ct+zo u=dt+uo となって (x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=(u-uo)/d=t 次に4次元空間での3次元立体について。 2次元空間では、それより一つ次数が低い1次元の直線は一つの式 ax+by=c で与えられた。 3次元空間では、それより一つ次数の低い2次元の平面は、一つ式 ax+by+cz=d で表さられた。 したがって、4次元空間では、それより一つ次数の低い3次元の立体は、 ax+by+cz+du=e で表されるだろう。 【別な考え】 4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する立体は一つしかない。なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで空間(立体)は3つの基底ベクトルで決定されて、残り一つが残っているからだ。 立体上の2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を結ぶベクトルとこの立体に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c,d)の内積が0であるという条件で計算すると a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)+d(u-uo)= 0 ax+by+cz+du=axo+byo+czo+duo になり、ax+by+cz+du=eという形になる。 2次元の平面はどうだろうか? (ここからが本題) 4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する平面は、2つあるはずだ。 なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで平面は2つの基底ベクトルで決定されて、残り2つが残っていて、それはこの平面に直交するように選べるからだ。 平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を P(xo,yo,zo,uo)、Q(x1,y1,z1,u1)、R(x2,y2,z2,u2)、 とする。この平面上の任意の点X(x,y,z,u)は、媒介変数t,sを使って OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑ と書ける。 成分表示にするために OP↑=(xo,yo,zo,uo) PQ↑=(a,b,c,d) PR↑=(a',b',c',d') と方向ベクトルを定義すると、 x=xo+at+a's......(1) y=yo+bt+b's......(2) z=zo+ct+c's......(3) u=uo+dt+d's.....(4) という書き方も平面を表す式である。 (1)と(2)を連立して、未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式と(4)式代入すれば、(1)(2)(3)(4)式は、2つの式 a"x+b"y+c"z+d"u=e' a"'x+b"'y+c"'z+d"'u=e" になる。 この2つの式からuを消去すれば、結局、 Ax+By+Cz=D という形になる。 zを消去すれば、 Ax+By+Cu=D yを消去すれば、 Ax+Bu+Cz=D xを消去すれば、 Au+By+Cz=D

その他の回答 (3)

  • 回答No.3
  • pancho
  • ベストアンサー率35% (302/848)

物理を勉強していた者です。 物理の立場では、4次元目の軸は時間で捕らえるのが一般的ですし、数学者以外の人にもイメージしやすいので、この観点で説明します。 この解釈の場合、3次元空間に住んでいる私たちは、時間軸を移動する(時間が立つ)ことで4次元空間を擬似的に体験していると考えられます。丁度、0次元の点が線上を移動し、1次元の線が平面をなぞり、2次元の面が空間を移動する様に…。 4次元における平面の特殊な例(W=一定)が、時間(時刻)一定の私達の3次元空間です。ある瞬間の私達ですね。 そこで、私達3次元空間から4次元超球体を見たとしたらどうなるでしょう。 それは、あたかも空中に小さな球体が突然現れ急激に拡大していき、最大付近ではゆっくり大きくなり、最大値を過ぎてからはゆっくり小さくなり始め、最後は急激に小さくなって突然何も無くなる、という変化になります。 その球体の半径の変化は、丁度、3次元上で球体が平面を一定速度で横切る時の切断面の半径の変化と同じです。 イメージできますか? 結論。 ご質問の図形は、皆様のご説明の通り球面(あるいは球体)です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

    ご自分で考えておられて、イメージが掴みにくいと云う話なので、イメージの話をします。どうして、こういうイメージあるいは図形になるかは、図形になるかの証明の式は、自分で考えてください(証明も欲しいということでしたら、それも記しますが、手間がかかりますので、簡単に述べます)。     まず、結果から云いますと、仰られている切片は、共通部分があれば、それは「球面」です。     それは、貴方が平面と思って記している式「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は、実は、四次元空間では、三次元空間になります。従って、四次元超球との共通部分があれば、それは、二次元図形になるのです。「球面」です(二次元図形とは、自由度二次元の意味です。これは四次元空間のなかの球面ですから、三次元の球面ではないのです。特定の三次元空間のなかに収まる球面ではありますが)。     四次元空間のなかの平面もある訳で、そういう平面が、四次元超球と共通部分があれば、その場合の切片は、「三次元の球体」です。     少し補足しますと(事実上、証明になりますが)。式「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は、四次元ヴェクトル(a,b,c,d)と(x,y,z,w)の内積が一定という意味です。三次元の場合、こういう特定ヴェクトルとの内積が一定のヴェクトル全体の集合は、結果的に、特定ヴェクトルと直交し、かつ、その特定ヴェクトルの先端を通る平面になります。四次元の場合は、特定の四次元ヴェクトルとの内積が一定のヴェクトルの集合体が描く図形は、特定ヴェクトルと直交する図形で、特定ヴェクトルの先端を通る図形、つまり、そのような三次元空間です。     四次元超球は、四次元的に任意の方向で、点対称になっています。従って、特定四次元ヴェクトル(a,b,c,d)は、切片の図形がどういうものかを考える時には、超球を原点を中心に任意に回転しても同じ図形でなるので、(0,0,0,d)ヴェクトルとの内積で考えてよいことになります。d*w=eと云う式は、第四の軸W軸のe/dという点を通る(直交する)三次元空間なのです。e/d=1という時、超球との切片は、「点」です。0<=e/d<1の時、これは、図形次元二次元の球面になります。(つまり、超球の式は、「x^2+y^2+z^2+w^2=1」ですが、これにw=e/dを代入すると、x^2+y^2+z^2=1-(e/d)^2<1 で、これは二次元図形で、かつ球面の式なのです)。  

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

間違えて補足に再質問を書いてしまいました。ごめんなさい。

質問者からの補足

申し訳ありません、超球(x^2+y^2+z^2+w^2=1)と書きましたが、実は超球体(x^2+y^2+z^2+w^2<=1)のことを言いたかったのです。 数式を解いてみたところ、どうも楕円体となりそうなのですが・・・。 (二次元図形とは~~球面ではありますが)と ありますが、4次元空間の中の球面を3次元空間上に投影した場合どのような図形になるのでしょうか? もう一つですが、結局「a*x+b*y+c*z+d*w=e」は4次元における平面(みたいなもの)ではないのでしょうか? なかなか理解が及ばず苦しんでおります。申し訳ありません。よろしく御願いします。

  • 回答No.1

例えば、話を3次元にして、 球:x^2+y^2+z^2=1を、Z=0の平面で切ったとすると、 その切り口は、 x^2+y^2=1 つまり、原点を中心とした円となります。 一般の平面で切ってもやはり切り口は円です。 同様に、話が2次元だと、 円:x^2+y^2=1を、y=0の平面(直線)で切ったとすると、 その切り口は、 x^2=1 つまり、点(1,0),(-1,0)となります。 一般の直線で切っても切り口は2点になります。 もっともな話だと思います。 では、4次元では。 超球:x^2+y^2+z^2+w^2=1を超平面w=0で切るとその 切り口は、x^2+y^2+z^2=1、すなわち3次元の球ですね。 よって、一般に4次元超球の超平面での切断面は 3次元の球になると思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 4次元空間問題

    4次元ベクトル空間(変数はxyzu) x+y+z+u=1 において、 この式を満たす空間上にあり、この空間と直交し、お互いに直交する3つのベクトル空間を求めて下さい。

  • 3次元空間のグラフについて

     問題を解いていてわからない問題が出てきましたので質問させてください。 ↓以下問題と答え (問題) 3次元空間においてx^2+y^2+z^2=a^2であらわされる曲面が、 x+y+z=bであらわされる平面と一点で接しているとき、aとbの関係を表せ。 (答え) 3次元空間においてx^2+y^2+z^2=a^2であらわされる曲面とは、原点を中心とし、 半径をaとする球面である。球面と平面が1点で接しているとき、 球面の中心と平面との距離は球面の半径と同一であることになる。 したがって、b/ルート3 = aとなる。 と書いてあるのですが、文の流れからb/ルート3は球面の中心と平面との距離を表していると思うのですがなぜこうなるのかが全く分かりません。見にくい文で申し訳ないですが、分かる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

  • 3次元球面の曲率を考える時、なぜ4次元を考える?

    3次元球面の曲率や曲率半径を考えています。 『なっとくする 宇宙論』(二間瀬敏史)p101によると 半径Rの3次元球面を考えよう。これは4次元の平坦なユークリッド空間のなかの3次元球面を指す。平坦な4次元空間にデカルト座標系(x,y,z,ω)をとると、この球面の方程式は、 x^2+y^2+z^2+ω^2=R^2 となる。 (引用以上) 質問としては、なぜ3次元球面の曲率半径を考える時に4次元空間を考えるのでしょうか? どうしてω項が入るのでしょうか? よろしくお願いします。

  • 4次元から9次元そしてゼロ次元

    またまた素人の空想ですが 1次元は2次元の平面を線まで圧縮したもの。 2次元は3次元空間を平面まで圧縮したものです。 とすると3次元は (?) 3次元に接する一つの面に4次元空間を圧縮したものとなり3次元を立方体とすると6面存在し、その面に接する各々6個の次元が存在することになるのでは ? ブラックホール内にはゼロから9次元までの10個の次元が存在し縮小し蒸発する際には折りたたまれゼロ次元に格納されるのではないでしょうか ? もしそうとすると通常の状態の場合4次元から9次元の空間はどのように存在してるのか謎です。 3次元空間の外の無限宇宙空間にあるのか、3次元空間と折り重なるように存在するのかなんともわかりません。 ダークエネルギーはこの4次元から9次元に存在するのか、この次元から引かれ私達の宇宙が膨張してるのではないでしょうか。 時間は次元ではなく、ただの時間軸ではないでしょうかね。

  • 4次元の世界

    数学の得意な人なら簡単な問題かも知れません。 4次元の球の表面積はいくらか?という問題について答えを教えてください。 1次元の直線を二次元に均等に広げると円が出来ます。そこで最初の一次元の直線の長さ(1次元)と二次元空間に広がった円の長さ(1次元)を比較するとπだけ伸びています。 次ぎにこの円を三次元方向に均等に広げると球になります。円の面積(2次元)と三次元空間に広がった球の表面積(2次元)を比較すると、何と驚く事に今度はちょうど4倍(整数倍)になってます。 では次ぎに三次元の球を4次元方向に均等に広げた何か(球=キュウの次だから充=ジュウとでも命名しましょうか)と元の球の比較です。元の球の体積(3次元)とそれを4次元方向に均等に広げた充の表体積(3次元)の比率はいくらなのでしょうか?

  • 4次元空間で点と直線・平面の距離の公式の一般化を考えたい

    4次元空間と書いたのは、一般化と単に記述の簡単さが目的です。 さらに記述の簡単さのために、4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、n次元ベクトル空間との距離を考えたいと思います。 4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4])で張られる1次元ベクトル空間(原点を通る直線)との距離の公式はどう書けるのでしょうか? 4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4]),(b[1],b[2],b[3],b[4])で張られる2次元ベクトル空間との距離の公式はどう書けるのでしょうか? 4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4]),(b[1],b[2],b[3],b[4]),(c[1],c[2],c[3],c[4])で張られる3次元ベクトル空間との距離の公式はどう書けるのでしょうか? また、垂線の足の座標はどうなるのでしょうか? n次元ベクトル空間上の点をいくつかのパラメータを用いて表し、距離の2乗を偏微分したものが0ということから公式を導こうとしたのですが、うまくいきません。 どうかきれいに計算できた方は教えてくださいませ。

  • 高校数学、3次元の式の考え方

    高校数学、3次元の式の考え方 中心が(1、-3,2)で原点を通る球をSとする。 (1)Sとyz平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。 (2)Sとz=kの交わりは半径√5の円になるという。kの値を求めよ。 (問題集の解答) (1) Sの半径rは中心(1、-3,2)と原点との距離に等しいからr^2=1^2+(-3)^2+2^2=14 よって、Sの方程式は(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14 球面Sとyz平面が交わって出来る図形の方程式は (y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0(★) これはyz平面上で中心(0、-3,2)半径√13の円を表す。 (2) Sとz=kが交わって出来る図形の方程式は (x-1)^2+(y+3)^2+(k-2)^2=14、z=k(★) (疑問) (1)直線と直線(曲線)の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線(交線)になる、というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか? (2)例えばy=x+1とy=2xは(1,2)を交点に持ちます。 このとき、(1,2)はどのように求めたのかといえば、2直線の交点というのは2つの方程式をともに成り立たせるからこの連立方程式を解けばよいと考え、(1,2)を求めた。 では、 Sとyz平面の交わりをどう考えるのか? S:(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14、yz平面:x=0をともに満たすのが2つの交わりの正体と考えたのですが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0となるのがイマイチピンときません。 方程式はxyzが満たすべき条件ですから、2つに方程式がなることもあるだろうなとは思いますが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0がSの方程式、yz平面の方程式をともに満たしているというのがわかりません。 (3)3次元では平面の方程式はax+by+cz+d=0という形で表されます。 x=0ならばx=0という条件以外任意という意味ですから、yzへと延びてゆくと考えて、yz平面と判断しているのですが、3次元では直線の方程式はどう表されるのでしょうか?2次元ではx=0は直線なので、これを見ると少し違和感があります。 中心が(1、-3,2)で原点を通る球をSとする。 (1)Sとyz平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。 (2)Sとz=kの交わりは半径√5の円になるという。kの値を求めよ。 (問題集の解答) (1) Sの半径rは中心(1、-3,2)と原点との距離に等しいからr^2=1^2+(-3)^2+2^2=14 よって、Sの方程式は(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14 球面Sとyz平面が交わって出来る図形の方程式は (y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0(★) これはyz平面上で中心(0、-3,2)半径√13の円を表す。 (2) Sとz=kが交わって出来る図形の方程式は (x-1)^2+(y+3)^2+(k-2)^2=14、z=k(★) (疑問) (I)直線と直線(曲線)の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線(交線)になる、というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか? (II)例えばy=x+1とy=2xは(1,2)を交点に持ちます。 このとき、(1,2)はどのように求めたのかといえば、2直線の交点というのは2つの方程式をともに成り立たせるからこの連立方程式を解けばよいと考え、(1,2)を求めた。 では、 Sとyz平面の交わりをどう考えるのか? S:(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14、yz平面:x=0をともに満たすのが2つの交わりの正体と考えたのですが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0となるのがイマイチピンときません。 方程式はxyzが満たすべき条件ですから、2つに方程式がなることもあるだろうなとは思いますが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0がSの方程式、yz平面の方程式をともに満たしているというのがわかりません。 (III)3次元では平面の方程式はax+by+cz+d=0という形で表されます。 x=0ならばx=0という条件以外任意という意味ですから、yzへと延びてゆくと考えて、yz平面と判断しているのですが、3次元では直線の方程式はどう表されるのでしょうか?2次元ではx=0は直線なので、これを見ると少し違和感があります。

  • 重力は4次元方向へ働く力?

    なのでしょうか? この世界を2次元にすると平面になり そこに大質量の物質が存在すると2次元の空間は 下(3次元方向)に沈み込む 下への沈み込みは1次元低い2次元への物理運動に影響を及ぼす 2次元に住む住人はあたかもその質量に吸い込まれるような錯覚をする? これを3次元に直すと3次元の物質は4次元方向に沈み込み 4次元方向への空間に影響を及ぼすということは 4次元空間は3次元の空間に物理的影響をおよぼすということ になるのでしょうか? 私はブラックホールとはn+1次元方向の無限の沈み込みだとおもっています 2次元宇宙において無限の3次元方向への沈み込みに光が進入すれば 光は3次元方向へ永遠に沈み込みかえってこれない これは引力によるものではなく 空間の無限歪曲によりあたかも光が消滅したかのように見える というのはどうでしょうか? 素人なので、このような説・理論があったら教えてください

  • 3変数関数の最大最小

    x,y,zが原点中心半径1の球上をうごくときのx+2y+3zの最大最小ってどうやって求めますか? =kとおいて球と平面が接するときで良さそうな気もしますが、平面と違ってイメージしづらく、あってる確信がありません。 出来るだけたくさんの解法を知りたいので三角関数や純粋に3変数関数としての処理の仕方があったら是非教えてください。よろしくお願いします。

  • 4次元版 正四面体 の展開図

    教えてください。 小5のこどもが、「4次元って 立体+時間なんでしょ?」なんて 生意気なことを聞いてきたので、「時間って決まってないんじゃないかな?」と返してやりました。で、「4次元の立方体の展開図は立方体が8つくっついたものに違いないのではないか?」(これは ネット上にあったページの受売りで 私はきちんとわかっていない状況です。)と言ったら、数日後に「4次元の正四面体の展開図は 3次元の正四面体の4つの面に3次元の正四面体がくっついたものでしょ?だって、三角形を展開すると 辺が3つ、正四面体を展開すると 面が4つ、なら 4次元版正四面体を展開すると 立体が5つになるはず」と言ってきました。その後「なんで、球(面)は平面に展開できないのに、円(周)は線にできるんだろう?4次元の球は 3次元に展開できるのかな?」と質問してきました。もう、私は答えられません。参考文献などありましたら紹介してください。 私は、理系ですが 数学・物理は専門ではありません。 親の威厳を保つためではなく、単にこどもの疑問に答えたいと言う状況です。 よろしくお願いします。