4次元空間の超平面で、パラメータを消去するには？

質問

4次元のxyzw直交空間を考えます。

直線は、パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s
y=y[0]+b[1]s
z=z[0]+c[1]s
w=w[0]+d[1]s
のように書けて、パラメータを消すと、
(x-x[0])/a[1]=(y-y[0])/b[1]=(z-z[0])/c[1]=(w-w[0])/d[1]
のように書けます。

平面（？）は、パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s+a[2]t
y=y[0]+b[1]s+b[2]t
z=z[0]+c[1]s+c[2]t
w=w[0]+d[1]s+d[2]t
のように書けますが、パラメータを消すとどうなるのでしょうか？

超平面は、パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s+a[2]t+a[3]u
y=y[0]+b[1]s+b[2]t+b[3]u
z=z[0]+c[1]s+c[2]t+c[3]u
w=w[0]+d[1]s+d[2]t+d[3]u
のように書けますが、パラメータを消すとどうなるのでしょうか？
おそらくAx+By+Cz+Dw+E=0のように書けるとは思いますが、それらの係数は具体的にはどのような形なのでしょうか?

3次元空間の平面の場合には、この最後の問いは、2つの3次元ベクトルの外積で表されると思うので、今回の設定を4次元にしてみました。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

直線は
>(x-x[0])/a[1]=(y-y[0])/b[1]=(z-z[0])/c[1]=(w-w[0])/d[1]
を書き換えると
(y-y[0])=(x-x[0])b[1]/a[1]
(z-z[0])=(x-x[0])c[1]/a[1]
(w-w[0])=(x-x[0])d[1]/a[1]
という３つの独立な式で表せますね。

この考え方を平面に適用すれば
> 平面（？）は、
(z-z[0])=(x-x[0])A+(y-y[0])B
(w-w[0])=(x-x[0])C+(y-y[0])D
という２つの独立な式を使って表せます。
係数はA,B,C,Dは
> x=x[0]+a[1]s+a[2]t
> y=y[0]+b[1]s+b[2]t
からs,tを求め
> z=z[0]+c[1]s+c[2]t
> w=w[0]+d[1]s+d[2]t
に代入すれば求められます。

同様に
> 超平面は、
> x=x[0]+a[1]s+a[2]t+a[3]u
> y=y[0]+b[1]s+b[2]t+b[3]u
> z=z[0]+c[1]s+c[2]t+c[3]u
をs,t,uの連立方程式としてs,t,uを求め
>w=w[0]+d[1]s+d[2]t+d[3]u
に代入して
>Ax+By+Cz+Dw+E=0 …(*)
の形に整理すればいいですね。
この方程式の係数(A,B,C,D,E)は定数倍（0でない定数をかける）しても方程式が変わるわけではないですから,(*)の式の係数が簡単になるように適当な定数をかけて整理するといいですね。

問題の丸投げはこのサイトでは禁止なので、丸解答すれば削除対象になります。したがって
上記のヒントをもとに質問者さんの解答を作って補足に書いて頂けばチェックします。

お礼

ありがとうございます。一晩考えてみて、行列式を使えば表現できそうだと分かりました。

パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s+a[2]t+a[3]u
y=y[0]+b[1]s+b[2]t+b[3]u
z=z[0]+c[1]s+c[2]t+c[3]u
w=w[0]+d[1]s+d[2]t+d[3]u
と書ける超平面は、４つのベクトル
(x-x[0] , y-y[0] , z-z[0] , w-w[0]),
(a[1] , b[1] , c[1] , d[1]),
(a[2] , b[2] , c[2] , d[2]),
(a[3] , b[3] , c[3] , d[3]),
が原点を通る超平面上にあるので、それを4x4行列とみなした
行列式＝0と書けます。
それが、Ax+By+Cz+Dw+E=0のように書けるとき、たとえばAは、
(b[1] , c[1] , d[1])
(b[2] , c[2] , d[2])
(b[3] , c[3] , d[3])
の行列式に等しい。
また同じことですが、階数が３であることから、
x=○y+○z+○w+○とも書けます。

パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s+a[2]t
y=y[0]+b[1]s+b[2]t
z=z[0]+c[1]s+c[2]t
w=w[0]+d[1]s+d[2]t
と書ける2次元平面は、3つのベクトル
(x-x[0] , y-y[0] , z-z[0] , w-w[0]),
(a[1] , b[1] , c[1] , d[1]),
(a[2] , b[2] , c[2] , d[2]),
が原点を通る2次元平面上にあるので、それを3x4行列とみなして、
内部にあるどんな3x3行列の行列式＝0と書けます。
それは2個の等式として、
Ax+By＋Cz＋E＝0かつFx+Gy＋Hw＋I＝0
の形に書けます。
また同じことですが、階数が2であることから、
x=○z+○w+○かつy=○z+○w+○とも書けます。

パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s
y=y[0]+b[1]s
z=z[0]+c[1]s
w=w[0]+d[1]s
と書ける直線は、2つのベクトル
(x-x[0] , y-y[0] , z-z[0] , w-w[0]),
(a[1] , b[1] , c[1] , d[1]),
が原点を通る直線上にあるので、それを2x4行列とみなして、
内部にあるどんな2x2行列の行列式＝0と書けます。
それは3個の等式として、
(x-x[0])/a[1]=(y-y[0])/b[1]=(z-z[0])/c[1]=(w-w[0])/d[1]
と書けます。
また同じことですが、階数が1であることから、
x=○w+○かつy=○w+○かつz=○w+○とも書けます。

回答No.4

info22

#3です。
A#3の補足です。
> Ax+By+Cz+Dw+E=0のように書ける
これでもいいですが、定数項Eのない次の形式でも書けます。

A(x-x[0])+B(y-y[0])+C(z-z[0])+D(w-w[0])=0
勿論、この方程式の係数(A,B,C,D,E)は定数倍（0でない定数をかける）して簡単化できます。

補足で解答を書いてもらえれば、正誤のチェックをします。

回答No.2

endlessriver

＃１です。a×b≠0のミスでした(;_;)

回答No.1

endlessriver

x=c1+a1s+b1t
y=c2+a2s+b2t
z=c3+a3s+b3t
を平面の式とし、このパラメータ表示を２つのベクトルa=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)のはる平面とすればu=(x,y,z),c=(c1,c2,c3)として,u=as+bt+cとなる。
これを内積により、平面の式は(u|v)=pとなる。vは平面に垂直なベクトル、pは定数。
v=a×bにとって計算すれば各定数との対応がとれます。当然a×b=0は必要です。
多次元空間の超平面も同様にできます。

お礼

ありがとうございます。一晩考えてみて、行列式を使えば表現できそうだと分かりました。

パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s+a[2]t+a[3]u
y=y[0]+b[1]s+b[2]t+b[3]u
z=z[0]+c[1]s+c[2]t+c[3]u
w=w[0]+d[1]s+d[2]t+d[3]u
と書ける超平面は、４つのベクトル
(x-x[0] , y-y[0] , z-z[0] , w-w[0]),
(a[1] , b[1] , c[1] , d[1]),
(a[2] , b[2] , c[2] , d[2]),
(a[3] , b[3] , c[3] , d[3]),
が原点を通る超平面上にあるので、それを4x4行列とみなした
行列式＝0と書けます。
それが、Ax+By+Cz+Dw+E=0のように書けるとき、たとえばAは、
(b[1] , c[1] , d[1])
(b[2] , c[2] , d[2])
(b[3] , c[3] , d[3])
の行列式に等しい。
また同じことですが、階数が３であることから、
x=○y+○z+○w+○とも書けます。

パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s+a[2]t
y=y[0]+b[1]s+b[2]t
z=z[0]+c[1]s+c[2]t
w=w[0]+d[1]s+d[2]t
と書ける2次元平面は、3つのベクトル
(x-x[0] , y-y[0] , z-z[0] , w-w[0]),
(a[1] , b[1] , c[1] , d[1]),
(a[2] , b[2] , c[2] , d[2]),
が原点を通る2次元平面上にあるので、それを3x4行列とみなして、
内部にあるどんな3x3行列の行列式＝0と書けます。
それは2個の等式として、
Ax+By＋Cz＋E＝0かつFx+Gy＋Hw＋I＝0
の形に書けます。
また同じことですが、階数が2であることから、
x=○z+○w+○かつy=○z+○w+○とも書けます。

パラメータを用いて、
x=x[0]+a[1]s
y=y[0]+b[1]s
z=z[0]+c[1]s
w=w[0]+d[1]s
と書ける直線は、2つのベクトル
(x-x[0] , y-y[0] , z-z[0] , w-w[0]),
(a[1] , b[1] , c[1] , d[1]),
が原点を通る直線上にあるので、それを2x4行列とみなして、
内部にあるどんな2x2行列の行列式＝0と書けます。
それは3個の等式として、
(x-x[0])/a[1]=(y-y[0])/b[1]=(z-z[0])/c[1]=(w-w[0])/d[1]
と書けます。
また同じことですが、階数が1であることから、
x=○w+○かつy=○w+○かつz=○w+○とも書けます。