三次元ユークリッド空間上の直線の方程式は？

質問

三次元ユークリッド空間上で，直交座標を x, y, z とする時，
任意の平面は，a, b, c, d を実数として（abc ≠ 0），

ax ＋ by ＋ cz ＋ d ＝ 0

で表されます．

では，三次元ユークリッド空間上の任意の或る一つの直線の方程式は，
直交座標を x, y, z とする時，一般的に，どの様に表現されるのでしょうか？
どなたか，教えて下さい．

回答No.1

info22 · ベストアンサー

平面の交線として表現されます。
つまり、2つの平面の式で表します。
良く使われる表現形式は
(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c
です。
この表現は、座標点(xo,yo,zo)を通り、直線の方向成分が(a,b,c)であることを表現する直線の方程式と言えます。
等号が２つ含まれていますが分解すれば
(x-xo)/a=(y-yo)/b
(y-yo)/b=(z-zo)/c
と2つの平面の方程式になります。
2つの平面の方程式が同時に満たす平面上の座標点(x,y)が交線を表す直線上の座標点であることは言うまでもありません。

上の同じ直線の別の表現として、媒介変数tを用いた表現
(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(a,b,c)=(xo+at,yo+bt,zo+ct)
も良く使われる表現です。

お礼

ご指導をありがとうございます．非常に参考になります．

回答No.3

htms42

ちょっと不思議な感じがします。
平面の式が分かっています。
この式はどうやって出てきたのでしょう。
面の傾きは法線で決まります。
したがって法線の傾きと面内の点の座標が１つ与えられると面が決まります。（ａ，ｂ，ｃは法線の傾きを表しています。）
法線を使っているのですから直線の表現は分かっているものとしているはずです。
直線の方程式が分からないという質問が出るのがよく分かりません。

一般的に直線を表すことは出来る。
でも面の式が分かっていてそこから直線の式を求めるのはどうしたらいいか
というのであれば質問の意味は分かります。
でもそのときは質問の文章が変わるはずです。

＃１のご回答に「２つの平面の交線は直線である」という文章があります。でも２つの平面の交線を求めていません。

＞(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c
これはａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０で表されている平面に垂直な法線の式です。

平行でない２つの面の交線を求めるのであれば
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０
αｘ＋βｙ＋γｚ＋δ＝０
を連立させて求めることになります。

お礼

ご投稿ありがとうございました．

回答No.2

aiueo95240

P(p[1],p[2],p[3]),Q(q[1],q[2],q[3])とする。
直線PQ上の任意の点X(x,y,z)において、

ベクトルPQとベクトルPXの外積が0ベクトル
PQ×PX=0
⇔
(OQ-OP)×(OX-OP)=0
⇔
OX×OP + OP×OQ + OQ×OX = 0
⇔
3*4行列
(p[1],p[2],p[3],1)
(q[1],q[2],q[3],1)
(x, y, z, 1)
におけるすべての小3*3行列式が0

お礼

ご投稿ありがとうございました．