空間図形の点と直線の距離の公式について

質問

xyz空間内の点P(p,q,r)から平面ax+by+cz=dにおろした垂線の長さを求めよ

という問題（というか公式を示す証明）を見たときに、

（解）
平面ax+by+cz=dに垂直なベクトルのひとつを
v→=(a,b,c)
とする。平面ax+by+cz=d上にA(x0,y0,z0)をとると、求める長さは
h=|AP→・v→｜÷|v→|
である。
(x0,y0,z0)がax0+by0+cz0=dを満たすことから、
h=|AP→・v→｜÷|v→|
=|(p-x0,q-y0,r-z0)・(a,b,c)|÷√(a^2+b^2+c^2)
=|ap+bq+cr-d|÷√(a^2+b^2+c^2)

となっていたのですが、どうしても

h=|AP→・v→｜÷|v→|である。

の部分が理解できません。検索して調べてみても分からず、結局内積とはなんだろう？と言うところまで調べてみたのですが、2つのベクトルがどれだけ似ているかを示す量、とだけ書いてあるくらいでさっぱり分かりません。

そこで、
(1)なぜ、hが上の式のようになるのでしょうか？
(2)幾何学的な意味としては内積は何を表すものなのでしょうか？

以上2点、よろしくお願いいたします。

回答No.2

mangou-kutta · ベストアンサー

先に
(2)幾何学的な意味としては内積は何を表すものなのでしょうか？
について、前に答えたことのあるものですが。

ａ、ｂはベクトルを表すとします。
ａとｂが同じ方向だったら長さの積だと考えるのは自然ですよね。
このときはａ・ｂ＝|ａ||ｂ|

もし方向が同じでなかったら

ｂがａの方向に対してどれだけの長さを持っているのかと考えるのです。
すなわち
ａに対してｂのａ方向への射影の長さ|ｂ|cosθを
ａに対するｂの長さと考えるわけです。

そしてａ方向に対して、ａの長さとａ方向へのｂの長さを掛け合わせて、

|ａ||ｂ|cosθ　をａ・ｂと定義するのです。

これは最初の同じ方向の場合も通用します。

ちなみに
a ・ b = |a||b| cosθ
=a1b1+a2b2

は両方が定義ではありません。片方です。

a ・ b = |a||b|cosθを定義とすると
a ・ b = =a1b1+a2b2は導かれる式になります。（定理といってもよい）

ヒントは三角形の余弦定理を使います。

次に
(1)なぜ、hが
h=|AP→・v→｜÷|v→|
になるのでしょうか？

については、
Ｐから平面に下ろした垂線の足をＨとすると
求めるのはh＝HP＝|HP→|である。
ｖ→とAP→のなす角をθとすると
(AP→)・(ｖ→)＝|AP→||ｖ→|cosθ
よって
|AP→|cosθ＝(AP→)・(ｖ→)/|ｖ→|
左辺の絶対値は
h＝HP＝|HP→|と同じ(△APHの角P＝θに注意)
よって
h＝||AP→|cosθ|
＝|(AP→)・(ｖ→)|/|ｖ→|

お礼

回答ありがとうございます！
内積の定義について非常に分かりやすい説明ありがとうございます！
cosθがつくことが、つまりスカラーではなくベクトルである所以のような気がしました。
１の答えについても、自分の大きな見落としがあることに気づくことが出来ました。
やはり、どんなときでも定義に戻って考える必要があるんですね！

回答No.1

postro

内積の定義から
AP→・v→=|AP→||v→|cosθだから 　（θはAP→とv→のなす角）
|AP→・v→｜÷|v→|=|AP→||v→||cosθ|÷|v→|=|AP→||cosθ|
|AP→||cosθ|　はPと平面の距離 h なのはOKですね。
内積の幾何学的な意味について、気持ちのよい答えはないと思います。
定義を覚えて、その便利さを実感するのが良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます！
非常にすっきりした分かりやすい答えでした！
|AP→||cosθ|＝h
であることを完全に見落としていました！
ありがとうございました！