点と直線の距離の公式の証明について

質問

点と直線の距離の公式の証明について

点と直線の距離の公式の証明において、

aX+bY+c=0　より

a(x-x0)+b(y-y0)=-(ax0+by0+c)

という式が出てきました。何を意味しているのかわかりません。
左辺は、点(x0,y0)を通る、与えられた直線と平行な直線の式を意味していますが、
右辺は、与えられた直線の式に点(x0,y0)を代入し、しかもマイナスがかかっているという
形になっています。そもそも、x0,y0は与えられた直線の式を通らないのに何故、代入なのか？
もしや、点と直線の距離の関数（垂直な直線）を意味しているのか？
何が言いたいのかよくわかりません。

青チャートの、
a(x+x1)+b(y+y1)+c=0
ax+by+ax1+by1+c=0
の一般系と原点の場合との比較の説明の方はわかります。
それとは無関係でしょうか？

上記の出典は、フォーカスゴールド数II、Bです。

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

>aX+bY+c=0　より
>a(X-x0)+b(Y-y0)=-(ax0+by0+c)

※x,yの文字を大文字に修正してあります。

代入ではなく、上段の式を仮定として使う
a(X-x0)+b(Y-y0)=aX+bY-ax0-by0=aX+bY+c-ax0-by0-c=-ax0-by0-c
の式変形です。

お礼

ありがとうございました。
等式のaX+bY+c=0を用いて式変形したものですか＾＾；

上の回答者の方の言ってる意味がわかりました。
左辺と右辺は等しい、なぜか？と捉えるべきでしたね。

気づきませんでした。ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

＞ 左辺は、点(x0,y0)を通る、与えられた直線と平行な直線の式を意味していますが

違いますよ。
「直線の式」は等式であるはずで、左辺だけでは直線の式にはなりません。
a(x-x0) + b(y-y0) = -(ax0+by0+c) は、直線 ax + by + c = 0 そのものを表しています。
括弧を展開して整理すると、 ax + by + c = 0 と一致するでしょう？
右辺だけ取り出して「意味」を探してみても、その行為にこそ意味がありません。
等式の意味は、等式として考えるべきものです。

お礼

なるほど。ありがとうございました。
等式の意味は等式として考えるですか。

では、この式はax0+by0+c＝0がa(x-x0) + b(y-y0) = -(ax0+by0+c)
と書けるという意味なのでしょうか？

何を問題にしたいかというと、下段に書いた青チャートの場合、幾何学的なイメージが浮かぶのですが
この式だと、どういう経緯でこの式が現れたのかよくわからなかったわけです。

回答ありがとうございました。