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ベクトルでもこの証明をやったのですが・・・

点(x1,y1)と直線ax+by+c=0との距離dは、 次の式で与えられることを証明せよ。    |ax1+by1+c| d=────────────    √(a^2+b^2) ベクトルの範囲での証明でもあった気がするのですが・・・。

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twinkle_lightさん、こんにちは。 以前、私が同じ問題に解答したときの答えをコピーしておきますね。 直線Ll:ax+by=cについて >・lはn(→)=(a,b)と垂直である ←これをまず照明しますね。 まず、分かりやすくするために、l上の点A(0、c/b)と点B(b、c/b-a) を考えてみましょう。 点Aの座標はxに0を代入したら、ax+by=cより、y=c/bと出ますね。 点Bの座標も、xがbのときのyの値を求めたらc/b -aと求まります。 さて、ここでベクトルABを考えます。 AB=(b-0,c/b-a-c/b)=(b,-a)ですね。 ここで、直線l上の任意のベクトルは、ベクトルABの実数倍になりますから 任意のベクトルはtABとあらわせます。 ベクトルtABとベクトルnの内積をとれば、 tAB・n=t(b,-a)・(a,b)=tab-tab=0 となって、ベクトルnと直線が垂直であることが分かります。 >・点P(x0,y0)とlとの距離は√(a^2+b^2)分の|ax0+by0-c|で与えれる (ここでは、x0,y0になっていますが、x1,y1だと考えてくださいね) 今、点Pから直線lに下ろした垂線の足を点Q(x1、y1)とおきます。 ベクトルPQは直線に垂直なので、上の証明より、ベクトルnの実数倍で表せます。 PQ=sn(s:実数)とおけます。 このとき、 PQ=(x1-x0,y1-y0) sn=s(a,b)=(sa,sb)ですから x1-x0=sa y1-y0=sb ・・・・・・・・(★) さて、ここで直線lと点Pとの距離は、まさに線分PQの長さになりますから |PQ|=√{(x1-x0)^2+(y1-y0)^2} これに(★)を代入すると、 |PQ|=|s|√(a^2+b^2) ・・・・・・(☆) また(★)より、 x1=x0+sa y1=y0+sb 点(x1、y1)は直線上にあるので、直線の方程式を満たす。 これを直線の方程式ax+by=cに代入すれば a(x0+sa)+b(y0+sb)=c ax0+by0+s(a^2+b^2)=c s(a^2+b^2)=c-ax0-by0 a^2+b^2>0ですから、 |s|=|ax0+by0-c|/(a^2+b^2)・・・・・・(★★) そこで、(☆)に(★★)を代入すると 求める距離は |PQ|=|s|√(a^2+b^2)=|ax0+by0-c|÷√(a^2+b^2) だということが証明できました ちょっと煩雑だったでしょうか。がんばってくださいね!

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)

計算してみました。 -- 平行移動して、原点O(0,0)と直線X:ax+by+C=0との 距離を求める(C=ax1+by1+c)。 Xに垂直で原点(0,0)を通る直線をY、XとYの交点をBする。 Bは(Xに垂直な)Y上の点なので=(at,bt)と書ける。 BはX上の点でもあるので、a(at)+b(bt)+C=0 これを解いて、t=-C/(a^2+b^2) だから、d=|-C/(a^2+b^2)|√(a^2+b^2)。

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  • 回答No.1

愚直なやり方ですが..。 直線X:ax+by+c=0と直交する直線の傾きはb/aですよね。 1.この傾きを持ち、点A(x1,y1)を通る直線Yの式を求めます。 2.直線XとYの交点Bを求めます。 3.点AとBの距離を計算します。 これでdが出る、はずですが...(すみません。実際には計算してません)。

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