- ベストアンサー
違いを教えて下さい。<点と直線の距離公式>
座標平面軸上に点A(4,0)と方程式y=2xで表される直線lをとる。 点Pのの座標を(a,b)とし、Pからlに引いた垂線とlの交点をQとおくと、 Qのy座標は2a+4b/5である。 点Pが条件『Pから直線lまでの距離とPAの比が1:√5である』を満たしながら 動くとき、Pの方程式をもとめよ。 という問題で、 (Pとlの距離)=|2a-b|/√{2^2+(-1^2)}=|2a-b|/√5 PA=√{(a-4)^2+b^2} |2a-b|/√5:√{(a-4)^2+b^2}=1:√5 |2a-b|=√{(a-4)^2+b^2} この両辺を平方・整理して、 4ab=3a^2+8a-16 ここの部分なのですが、絶対値をはずすのに平方しなくてはならないのですか? 例えば、 点A(5,4)とx+3y+3=0の距離 距離=|1×5+3×4+3|/√(1^2+3^2)=2√10 と求めますよね。 でもこれは絶対値をはずすのに平方してませんよね? 点と直線の距離公式の絶対値部分をを平方してはずすときと、 そうでないときの違いは何なのでしょうか?
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
条件から絶対値の中身の2a-bが正か負か分かりません。ですので絶対値が外せず(場合わけしないといけない)場合わけをしなくてもいいように2乗にしています。 例にある方では絶対値の中身の1×5+3×4+3が正と分かりますので2乗も場合わけもしなくても絶対値が外せます。 簡単に言うと絶対値の中身が正か負だと確実にいえるなら平方しなくても外せますが正か負のどちらか分からない場合は2乗で外すというわけです。
その他の回答 (1)
- kony0
- ベストアンサー率36% (175/474)
等式を解くプロセスの中で、絶対値や√があるので、「両辺を」2乗すると「その後の式展開が楽になる」・・・ただそれだけです。 1)A=Bを解くのに、A^2=B^2を解けば、概ね達成できる。(「概ね」と言っているところが、結構ポイントだったりします) 2)A=Bよりも、A^2=B^2のほうが簡単な式になる。 の2つから考え出された方法なのです。 例えば・・・のところは、「距離」を求めようとしているのですが、ここで「2乗する」という発想は、生まれるものではありません・・・だって、「距離の2乗」を求めたいわけではないでしょう? ・・・この回答で「イイタイコト」が伝わるか、いまいち自信がないですが、とりあえず書いてみます。
お礼
ご回答をありがとうございます。 絶対値や√があるので、「両辺を」2乗すると「その後の式展開が楽になる というのはわかるのですが、絶対値の中の数字を絶対値をはずして計算するときと、 そうでないときという2つのパターンに出会ったので、なぜこういうことが起こるのか 知りたかったのです。 ですが、わかるようになりました。 今回もお答えいただいて、ありがとうございました。
お礼
ご回答をありがとうございます。 なるほど!そういうことだったんですね。 なぜなのかずっとわからなくて悩んでたのですが、 謎が解けました。 ありがとうございました。