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点と直線の距離?

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数学(2)のはじめのほうの単元です。
点と直線の距離だったかな?

直線l:x+2y=5に関して点A(4,3)と対称な点Bの座標を求めよ。

という問題です。
この手の問題の解き方がわかりません。
やり方を教えてください~(>_<)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 39% (16/41)

x+2y=5を次のように表します
y=-1/2x+5/2
これは傾きが-1/2でy軸との交点が5/2(=2.5)の直線です。

この直線lと点Aの距離を求める為に、点Aを通り直線lに垂直な線mを求めます。(垂直に交わる線分が最短距離のため)
直線mの傾きは2(掛けて-1になる数)なので
直線m:y=2x+b
と表せます。
次に直線mは点A(4,3)を通るので、これを式に代入してb=-5となり、
直線m:y=2x-5
ということになります。

直線lと直線mとの交点Cを求めると。(ふたつの方程式を解くと)
点C(3,1)
がわかります。

点C(3,1)は、点A(4,3)と点B(u、v)の中間にあるので
点Bは(2,-1)
ということがわかります。

数学的に解くと、
3=(4+u)/2→U=2
1=(3+v)/2→v=-1となります。
おわかりいただけたでしょうか?
お礼コメント
noname#37213

詳しい解説ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
投稿日時 - 2001-05-01 00:00:09
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  • 回答No.1

いろいろなやり方がありますが基本の方法 考えるべきはABの中点をpと置くと ABの中点Pがx+2y=5上 x+2y=5とABが垂直 を使います。 B(a,b)おくと 中点P(a+4/2,b+3/2)これがx+2y=5上より (a+4/2)+2(b+3/2)=5 ABの傾きは(b-4/a-3) これがx+2y=5と垂直より (b-4/a-3)*(-1/2)=-1 ...続きを読む
いろいろなやり方がありますが基本の方法

考えるべきはABの中点をpと置くと

ABの中点Pがx+2y=5上
x+2y=5とABが垂直

を使います。

B(a,b)おくと
中点P(a+4/2,b+3/2)これがx+2y=5上より
(a+4/2)+2(b+3/2)=5

ABの傾きは(b-4/a-3) これがx+2y=5と垂直より
(b-4/a-3)*(-1/2)=-1

これを解けばBが求まります。
細かい計算は自分で確認してね。
他にも方法あるんじゃないかな。
お礼コメント
noname#37213

どうもありがとうございました。
無事解くことができました。
投稿日時 - 2001-04-30 23:57:32


  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 50% (1122/2211)

では、やり方だけ。 x+2y=5 を y=ax+b の形に変形すると、その a が直線Lの傾きになります。 直線Lと直行する直線L'は y=-1/a x + b' と表されます。 その L' は、点A を通るのですから、b' を求めることができます。 直線L'が求まれば、それと直線L との交点の座標(仮に、点Cとします)を 求めることがで ...続きを読む
では、やり方だけ。

x+2y=5 を y=ax+b の形に変形すると、その a が直線Lの傾きになります。
直線Lと直行する直線L'は y=-1/a x + b' と表されます。
その L' は、点A を通るのですから、b' を求めることができます。

直線L'が求まれば、それと直線L との交点の座標(仮に、点Cとします)を
求めることができます。

点Bは、直線L' の上にあり、点Cは、点Aと点Bの中点なのですから、
(Xc,Yc)=((Xa+Xb)÷2, (Ya+Yb)÷2)
を満たします。

# しばらく数学なんてやってないので、もっとエレガントな解法があるかも
お礼コメント
noname#37213

なんとか解くことが出来ました。
レスありがとうございました。
投稿日時 - 2001-04-30 23:59:07
  • 回答No.4
レベル9

ベストアンサー率 48% (19/39)

まず、問題の式を変形します。 x+2y=5 → y=-(1/2)x+(5/2) また、点Aと点Bが直線で対称という事は、 この二つの点を結んだ時にできる線分ABの中点が、 問題の直線上にあるという事です。 線分ABの式を一般的な直線の式で  y=ax+b としましょう。 この時、aを直線の傾き、bをy切片といいます。 さて、点Aと点Bが問題の直線で対称ということなので、 線分A ...続きを読む
まず、問題の式を変形します。
x+2y=5 → y=-(1/2)x+(5/2)

また、点Aと点Bが直線で対称という事は、
この二つの点を結んだ時にできる線分ABの中点が、
問題の直線上にあるという事です。
線分ABの式を一般的な直線の式で
 y=ax+b
としましょう。
この時、aを直線の傾き、bをy切片といいます。

さて、点Aと点Bが問題の直線で対称ということなので、
線分ABは、問題の直線に対して、垂直に交わります。
直線同士が、垂直に交わる条件は、
直線の傾きの積の値が、-1になることです。
           (↑これは、重要なので覚えておいてください)
問題の直線の式を変形した事によって、
直線の傾きが-(1/2)だとわかりました。
では、この-(1/2)とかけ算して-1になる数字は、2です。
したがって、線分ABの式のaの値が2だとわかりました。

ここまでで、線分ABの式は、y=2x+b となります。
この直線の式は、当然、点Aを通るので、点Aの値を代入すると
3=(2×4)+b となり、b=-5 だとわかります。
これにより線分ABの式は
y=2x-5
だと求められました。

次に直線と線分ABの交点を求めます。
直線の式のyに線分ABの式を代入すると
x+2(2x-5)=5
となります。
これによりx=3だとわかります。
また線分ABの式にx=3を代入してy=1が求められます。
これが、線分ABの中点の座標です。

点Bの座標を(X1、Y1)とします。
2つの点の中点の座標の求め方に当てはめて方程式を作ります。
(X1+4)/2=3
(Y1+3)/2=1
これよりX1=2、Y1=-1となります。

したがって、点Bの座標は(2,-1)となります。

説明がくどくて申し訳ないです。
お礼コメント
noname#37213

凄い詳しいですね、参考になりました。
私の為に長々と書かせてしまいましたお疲れでしょう。
どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-05-01 00:02:14
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 44% (65/145)

みなさんがもう答えられてるのでくどくなりますけど、ちょっとだけひねって・・・ 直線      ax+by+c=0    に垂直な直線の一般式は、      bx-ay+d=0    とかけます(証明は、ベクトルなり、傾きの積が-1になることを利用すればできます)。 つまり、x+2y-5=0の垂直線の一般式は、2x-y+d=0 ・・(*)となります。 dは点(4,3)を通る ...続きを読む
みなさんがもう答えられてるのでくどくなりますけど、ちょっとだけひねって・・・

直線

     ax+by+c=0   

に垂直な直線の一般式は、

     bx-ay+d=0   

とかけます(証明は、ベクトルなり、傾きの積が-1になることを利用すればできます)。
つまり、x+2y-5=0の垂直線の一般式は、2x-y+d=0 ・・(*)となります。
dは点(4,3)を通ることから、d=-5となります。
2式より、交点は、(3,1)となり、求める点は式(*)上にあることから、(t、2t-5)と表せます。

あとは(4,3)と(t、2t-5)の中点が(3,1)であることを考慮して、(t、2t-5)=(2,-1)となります。
・・・・ん???ひねれてない?!
お礼コメント
noname#37213

おおっ、なんか新しい解き方じゃないですか?
あまり深い事は分かりませんがなんか凄いです。

レスありがとうございました。
投稿日時 - 2001-05-01 00:03:49
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