空間の直線とベクトル

質問

空間の直線x-10/(-2)=y/2=-z-3・・(1)上に動点Pがある。
別の定点A（4,1,2)がある。
(1)APのminを求めよ
(2)このときAP⊥Pを示せ。
この問題がわかりません。
(1)＝ｋとおいてx=10-2k,y=2k,z=-3-kとして内積０を考えたのですがうまくいきません。教えてください。

先ほどの質問に不備がありましたので、こちらで再質問させていただきました。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

>x=10-2k,y=2k,z=-3-kとして内積０を考えたのですがうまくいきません。

何と何の内積を求めたのでしょう。それ以前に、問題の(2)を見ると最短から直交を
導こうとしていますので(1)で直交条件から最短を持ってくるのはまずいかと。。。
(内積=0が直接示すものは直交です。直交から最短がいえますが求められれば
証明する必要があります。通常はそれを当たり前として省略しているだけで
最短⇒直交を導こうとしている問題に証明なしに使うのはだめでしょう）

あと、

>AP⊥Pを示せ。

問題を正確に写していますか？Pは点ですから直交が定義できません。
空間の直線をlとしてAP⊥l　なら分かりますが。

とりあえず、(1)はP(10-2k,2k,-3-k)として

AP^2=f(k)=(10-2k-4)^2+(2k-1)^2+(-3-k-2)^2

を展開して平方完成から最小値を与えるようなkを算出してください。
また、内積ですが直線のベクトルは(-2,1,-1)です。これとAPの内積を
計算して0になることを(2)に回答してください。

お礼

ありがとうございました。