平面の特徴・一般式

質問

講義で次の様な問題が出されたのですが、長い間数学から離れていたために解答が非常に困難です・・・
　　「Ｚ＝２－２Ｘ－Ｙが平面であることを、平面を特徴づける性質と平面を表す一般式を示した後で証明せよ」
解らないのは平面の性質と一般式。これは３次元における直線が
　　　　　　　Ｘ－ａ＝ｌt Ｘ－ａ＝（ａ´－ａ）ｔ
　　　　　　　Ｙ－b＝ｍｔ　　or 　　Ｙ－ｂ＝（ｂ´－ｂ）ｔ
　　　　　　　Ｚ－C＝ｎt　　　　　　　Ｚ－C＝（C´－C）ｔ
という式で表される（ここまでは理解できました）ことが前提になっているとのことでしたが・・・うーん・・・三点（１，０，０）（０，２，０）（０，０，２）
を通るＺ＝２－２Ｘ－Ｙがなぜ平面なのでしょうか？？
お分かりになる方、宜しくお願いします！

回答No.3

zabuzaburo · ベストアンサー

例えば「Aを始点、Bを終点とするベクトル」を[AB]と書くことにします。

平面上に三角形ABCを描いてみましょう。
[AB]と[AC]を使って、次のようなベクトル[AP]を作ってみます。

[AP] = s[AB] + t[AC] (s, tは実数)

上のs, tがいろいろな値をとったとき、
[AP]の終点Pが平面上をくまなく動き回ることは理解していますか？
このイメージがつかめていないのであれば、
まずここを勉強する必要があるので、
補足欄にその旨を書いてください。

さて、出題の文脈から察するに、
(*)を平面の一般式と考えても良さそうです。
どうも問題文が「出題者にしかピンと来ないような表現」に
なっていて困りますが……。
「平面を特徴づける性質」とは、要するに
「上の式で表すことができる点Xを集めたもの」
ということですが、もう少し厳密に書けば
「一次独立な2つのベクトルの一次結合で表されるベクトルを、
始点を固定して描いたときの終点の集合」
ということになります。とりあえずここは意味不明でも構いません。

この平面は3点
A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2)
を通るとのことですから、これを使わせてもらいましょう。
平面上の任意の点P(x, y, z)は

[AP] = s[AB] + t[AC] (s, tは実数)

という形で書けるはずです。
いま、成分を計算すると
[AP] = (x - 1, y, z), [AB] = (-1, 2, 0), [AC] = (-1, 0, 2)
となりますから、
(x - 1, y, z) = s(-1, 2, 0) + t(-1, 0, 2)
右辺を計算すると
(x - 1, y , z) = (- s - t, 2s, 2t)
成分ごとに

(ア)x - 1= - s - t
(イ)y = 2s
(ウ)z = 2t

となります。あとはs, tを消去すればよく、
(イ)から s = y / 2
(ウ)から t = z / 2
これらを(ア)に放り込んで
x - 1 = - (y / 2) - (z / 2)
整理して z = 2 - 2x - y となります。

数学から長らく離れておられたということで、
説明の足りないところがたくさんあるかもしれません。
必要なだけ再質問してください。

補足

回答ありがとうございます！先生は「平面を特徴づける性質・・・これは計算しようと思えばできる形で述べなさい」とおっしゃっていたのですが、それでは一般式と違いがないですよね。確かに表現の解読が難しい（笑）。ベクトルの概念はだんだん、思い出してきました。そう、平面ベクトル、空間ベクトルやりました！でもこの問題でまさかベクトルが使われようとは、全く考えつきませんでした。

回答No.2

ryumu

もう、他の方が答えられていますが、わたしもベクトルで考える方が、楽だと思います。
とりあえず、ヒントとして平面の方程式の導き方を。

平面上の特定の点（α,β,γ）と、同じく平面上の任意の点（x,y,z）から、平面に平行なベクトル

　（x-α, y-β, z-γ）

が指定できます（このベクトルは、平面上のどの方向でもよいので、変数x,y,zを含みます）。

さて、平面には、必ず法線ベクトルが存在します（平面に垂直なベクトル）。
その法線ベクトルを（a,b,c）とすると、
この平面の方程式は、平面上のベクトルと、法線ベクトルは必ず垂直であることを利用して、各ベクトルの内積から、

　　（a,b,c）・（x-α, y-β, z-γ）=０

　＜＝＞　a(x-α)　+　b(y-β)　+　c(z-γ)=0

　＜＝＞　ax + by + cz + d =0 (d= α+β+γ)

となります。
この式と、saera210さんの式を比べると、法線ベクトルは（２，１，１）となります。

ちなみに平面は、互いに平行でない、ベクトルが２つ指定されると、作れます。
ベクトルを２つ作るには、少なくとも座標上の点が三点必要です。

saera210さんの、書かれた三点（１，０，０）（０，２，０）（０，０，２）も、これらから作られるベクトル、例えば、

（１，０，０）-（０，２，０）＝（１，-２，０）　・・・（＊）
（１，０，０）-（０，０，２）＝（１，０，-２）　・・・（＊＊）

が、互いに平行ではないので、平面を形成できます。
法線ベクトルも、この２つのベクトルと内積が０であるベクトルを探すことで得られます。
とりあえずノーマルな求め方として・・・
その法線ベクトルを、（a,b,c）とおくと、（＊）および（＊＊）との内積が０であることから、

　a-2b=0, a-2c=0　　＝＞　a=2b=2c, b=c

となりますから、（a,b,c）＝c（2,1,1）
となり、ベクトルですので、方向を指定できればいいので、法線ベクトルは
（2,1,1）となります（別に、（４，２，２）でも、（-２，-１，-１）でもよい）。

お礼

ありがとうございました！与えられた式が条件を満たしている理由がよく理解できました。

回答No.1

a0123456789

私も数学から離れて長いのですが、平面とは一点を共有し、且つある法線ベクトルに対して直行する直線の集合であったように記憶しています。よって、共有点を(X0,Y0,Z0)、平面上の任意の点(X,Y,Z)とし、法線ベクトルを(a,b,c)とした場合に,直行するベクトルの内積は０であることからa×(X-X0)＋b×(Y-Y0)+c×(Z-Z0)=0となるのではないでしょうか？
よって平面の一般式は、良く教科書で出てくるaX+bY+cZ=dとなります。

お礼

そういえば、確かに大昔にそのようなことを勉強したのを思い出しました。
　回答ありがとうございました。