ベクトル空間

質問

線形写像Φ：V→Wに対して、　
v1～v2⇔v1－v2∈V'で与えられる同値関係～の同値類全体がなす集合V/V'について

(1)商ベクトル空間V/V'が、ベクトル空間になることと
(2)dimV/V'=dimV-dimV'になること
を示したいのですが、なかなか思うようにできません。どなたか教えてください。お願いします。

回答No.1

hogehogelucy · ベストアンサー

V'は部分空間だと思いますが、
(1)のベクトル空間になることを示すには
まず V/V' 上に加法とスカラー倍を定義しなければなりませんね。
次のように定義するのが自然でしょう。
[v1]+[v2]=[v1+v2]
k[v]=[kv]

次にこの定義がwell-defined であることを示さなければなりません。
[v1]=[v3],[v2]=[v4]
つまり
v1～v3,v2～v4
となる元をもってきたとき
[v1+v2]=[v3+v4]
となることをです。
（V/V' 上で同じ元を足したのに計算結果が異なってはダメですからね♪）

おんなじようにスカラー倍もwell-definedを示して、
次にベクトル空間の公理を満たすかチェックして(1)は終りです。

(2)は全射線形写像
F:V -> V/V' , F(v)=[v]
を考えてみましょう。

お礼

返事が遅くなりましたが、ありがとうございました。

回答No.2

graphaffine

（１）線形代数の初歩ですね。どの入門書にも
商ベクトル空間の定義は載ってると思いますが
調べましたか。もし調べて分からなかったのならどこが分からないかはっきりさせて下さい。
（２）次元の定義は分かっていますよね。
Ｖ’の基底Ｂ（Ｖ’）を拡大してＶの基底Ｂ（Ｖ）を作り、差集合Ｂ（Ｖ）－Ｂ（Ｖ’）がＶ／Ｖ’の基底と
一対一に対応する事を示せば良いですね。

お礼

ありがとうございました