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部分ベクトル空間

AをK成分のm×n行列とする。 W={x∈(K^n)|Ax=0}とおくとき、WがK^nの部分ベクトル空間であることを示せ。 という問題なんですが、 部分ベクトル空間が成り立つ条件として、 (i)0∈W (ii)x_1,x_2∈Wならばx_1+x_2∈W (iii)x∈W,a∈Kならばax∈W があり、この3つが成り立つことを言えばいい。 (i)a・0=0 (ii)ax_1+ax_2=0+0=0 (iii)a・ax=a・0=0 これで良いのでしょうか?m×n行列なので、やはり違うのでしょうか? 何かヒントやアドバイスなど頂けると助かります。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • R-gray
  • ベストアンサー率39% (92/234)
回答No.1

(ii) x∈W,y∈Wのとき A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0.よってx+y∈W. (iii) x∈W,c∈Kならば A(cx) = cAx = c・0 = 0.よってcx∈W.

juck0808
質問者

補足

回答ありがとうございます。 Aとaを分けていませんでした。すみません! 正しくは、 (i)0=0 (ii)Ax_1+Ax_2=0+0=0 (iii)a・Ax=a・0=0 です。 (i)はこれでいいのでしょうか? m×n行列はとくに気にしなくてもいいのでしょうか?

その他の回答 (5)

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.6

わりぃ、わりぃ。A は行列でしたね。W と勘違いしたよ。 場合分けの必要はありません。 (i) の条件と、 A = 0 (すべての成分がゼロ)の可能性とは無関係です。

juck0808
質問者

お礼

行列の場合は必要ないんですね、わかりました。 ありがとうございました!

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.5

>(i)で、A=0という可能性もあるんじゃないかと思うのですが、 >それは関係ないのでしょうか? A = {0} ( 要素が 0 のみ ) という意味? これはアリです。 「0 だけを持つ」のと、「全く持たない」のとは違います。

juck0808
質問者

補足

では、(i)で、A={0}のときと、A≠{0}のときを考えるべきなんですね。 A={0}のとき 0・0=0 A≠{0}のとき A・0=0 ということでいいんですか?

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.4

>線型部分空間であるためには別に >0∈Wはいらないと思いますが、、、。 それがないと、W が空集合である可能性を排除できないんだよ。

juck0808
質問者

補足

回答ありがとうございます。 (i)がないとダメなんですね。 (i)で、A=0という可能性もあるんじゃないかと思うのですが、それは関係ないのでしょうか?

  • R-gray
  • ベストアンサー率39% (92/234)
回答No.3

ANo.1ですが、、、 線型部分空間であるためには別に 0∈Wはいらないと思いますが、、、。 (ii)(iii)がいえれば終わりです。 ただとりあえず0∈Wには実際なっていて、 それを示すのは A・0=0よって0∈W で終わりですね。

juck0808
質問者

お礼

参考にさせていただきました。 ありがとうございました!

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.2

>(i)a・0=0 >(ii)ax_1+ax_2=0+0=0 >(iii)a・ax=a・0=0 > >これで良いのでしょうか? a って何?

juck0808
質問者

補足

回答ありがとうございます。 すみません、正しくはこちらです! (i)0=0 (ii)Ax_1+Ax_2=0+0=0 (iii)a・Ax=a・0=0 aはa∈K(Kは実数、有理数、複素数のいずれかをさす)です。

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