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双対空間と逆行列の関係について
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問題が正しいですか？ ちがうでしょう？ W*からV*でしょう． f:V->Wに対して，f*:W*->V*（質問ではtfと書かれているが 慣習にしたがってf*と書くことにする）の定義は f*(φ)(v)=φ(f(v))（φはW*の元，vはVの元） であるので， あとは，普通にVとWの基底をとって，fの表現行列をとって それからその基底に対する V*とW*の双対基底をとって f*を行列表現すれば終わり． Vの基底を{v1,v2,...,vn}， Wの基底を{w1,wn,...,wm}とすれば，fの表現行列A=(aij)は (f(v1),f(v2),....,f(vn))=(w1,w2,...,wm)(aij) と表される． V*の双対基底を{v*1,v*2,...,v*n}， W*の基底を{w*1,w*n,...,w*m}とすれば Vの基底の元viに対して (f*(w*1)(vi),...,f*(w*m)(vi)) =(w*1(f(vi)),...,w*m(f(vi))) =(w*1(a1iw1+…+amiwm),...,w*m(a1iw1+…+amiwm)) =(a1i,...,ami) これより v=x1v1+…+xnvnに対して f*(w*j)(v) =x1aj1+…+xnajn =v*1(v)aji+…+v*n(v)ajn であるので f*(wj)=v*1 aj1+…+v*n ajn (Aij)=(aji)とおくと f*(wj)=v*1 A1j+…+v*n Anj つまり， (f*(w*1),...,f*(w*m))=(v*1,...,v*n)(Aij) つまり，f*の表現行列は(Aij)=(aji)で転値行列． なおこれは一般の有限次元ベクトル空間で有効な証明．
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