V:ベクトル空間 W:Vの部分空間

質問

V:ベクトル空間 W:Vの部分空間
Vの自己準同型写像φについて
φ(V)がWに含まれるとすると
Tr(φ)=Tr(φ|W)が成立

感覚的には理解できるのですが
証明ができません（泣）
どなたかよろしくお願いします(＞人＜;)

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

V:ベクトル空間
W:Vの部分空間
Vの自己準同型写像φについて
φ(V)がWに含まれるとすると
dim(V)=m≧n=dim(W)とすると
Vの基底を{e_1,e_2,…,e_n,e_(n+1),…,e_m}
Wの基底を{e_1,e_2,…,e_n}
と(取り換え定理によって)できる
j=1～mに対して
φ(e_j)はWの元だから
φ(e_j)=Σ_{k=1～n}a(j,k)(e_k)
となる{a(j,k)}_{k=1～n}がある
A=[{a(j,k)}_{k=1～n}]_{j=1～m}
とする
Vの任意の元xに対して
x=Σ_{j=1～m}(x_j)(e_j)
となる(x_j)_{j=1～m}がある
φ(x)=Σ_{j=1～m}(x_j)φ(e_j)
↓φ(e_j)=Σ_{k=1～n}a(j,k)(e_k)だから
φ(x)=Σ_{j=1～m}Σ_{k=1～n}a(j,k)(x_j)(e_k)
だから
Aはφの表現行列
だから
Tr(φ)=Tr(A)=Σ_{k=1～n}a(k,k)
となる

f=φ|W
とすると
Wの任意の元
x'=Σ_{j=1～n}(x_j)(e_j)
に対して
f(x')=Σ_{j=1～n}Σ_{k=1～n}a(j,k)(x_j)(e_k)
だから
A'=[{a(j,k)}_{k=1～n}]_{j=1～n}
とすると
A'はfの表現行列
だから
Tr(φ|W)=Tr(f)=Tr(A')=Σ_{k=1～n}a(k,k)=Tr(φ)
∴
Tr(φ)=Tr(φ|W)

お礼

詳しくありがとうございます😊