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線形空間

広義線形空間分解の問題です。 VをC係数の二次以下の多項式全体のなすＣ上のベクトル空間とする。 Ｖの元f(X)に対して、 φ(f(X))=X^2*f"(X)-f'(X)+f(X) とおく。 f"は二階微分,f'は一階微分 このとき、Ｖのｆに関する広義固有空間分解を求める問題です。 考えたのですが、糸口からしてわかりません。 解答の道筋を教えてください。

みんなの回答

  • alkantala
  • ベストアンサー率70% (14/20)
回答No.1

V は二次多項式 f(x) = ax^2 + b x + c にベクトル (a,b,c) を 対応させることにより、 複素三次元の数ベクトル空間と同一視できます。 この対応を通してみれば、φ(f(x)) は φ(ax^2 + b x + c) = 2(2a) - (2ax+b) + (ax^2+bx+c) = ax^2 + (-2a+b)x + (4a-b) ですから、これは数ベクトル空間の線形写像 (a,b,c) → (a, -2a+b, 4a-b) と同じことです。 あとはこの数ベクトル空間の線形写像を 標準基底でも使って行列表現して、 行列の固有値を求めて、 各固有値の固有空間を決定すればいいと思います。

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